PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 39

Tenemos un tipo de ecuación en el que faltan las variables independientes x e y; es, por tanto, una función de la forma F(z, p, q) = 0. Planteamos entonces:
    \(\displaystyle \frac{dx}{F_p} = \frac{dy}{F_q}= - \frac{dp}{pF_z} = - \frac{dq}{qF_z} \)
Y tomando las dos últimas:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} - \frac{dp}{pF_z} = - \frac{dq}{qF_z} \; \; \rightarrow \; \; \frac{dp}{p} = \frac{dq}{q} \; \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \; \ln p = \ln q + \ln K_1 \; \; ; \; \; q = C_1p \end{array} \)
Podemos plantear entonces el sistema:
    \( \left. \begin{matrix} F(z, p, q) = 0 \\ \\ q = C_1p \end{matrix}\right \} \; \; p = p(z, C_1) \; \; ; \; \; q = C_1p(z, C_1)\)
De donde obtendríamos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    dz = p(z, C_1)·dx + C_1·p(z, C_1)·dy \; \; \rightarrow \\
     \\
    \rightarrow \; \; \int \frac{dz}{p(z, C_1)} = x + C_1y + C_2
    \end{array}\)
Tenemos entonces:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} z^2(p^2 + q^2 + 1) = 1 \; \; \rightarrow \; \; z^2(p^2 + C_1^2p^2 + 1) = 1 \; \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \; p^2(1 + C_1^2) = \frac{1}{z^2} - 1 \end{array} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle p = \frac{1}{\sqrt{1+C_1^2}}\sqrt{\frac{1-z^2}{z^2}} \; \; ; \; \; q = \frac{C_1}{\sqrt{1+C_1^2}}\sqrt{\frac{1-z^2}{z^2}}\)
Por lo que la solución será:
    \( \displaystyle \int \frac{dz}{p(z, C_1)} = x + C_1\, y + C_2 \rightarrow \)


    \( \displaystyle \sqrt{1+C_1^2}\int\frac{z·dz}{\sqrt{1-z^2}} = - \sqrt{1+C_1^2}\int d [\sqrt{1-z^2}]\)
Y, finalmente:
    \( (1 + C_1^2)(1-z^2) = (x + C_1y + C^2)^2\)
Podemos observar que en este caso tenemos como solución singular la dada por la ecuación:
    \( (1 - z^2) = 0\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás