PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 41

Como en otros ejercicios análogos planteamos la ecuación:
    \(\displaystyle \frac{dx}{q} = \frac{dy}{p} = \frac{dz}{pq + qp} = \frac{dp}{p} = \frac{dq}{q}\)
De la que resulta:
    \( \displaystyle \frac{dy}{p} = \frac{dp}{p} \; \rightarrow \; dy = dp \; \rightarrow \; y = p + C_1 \)
Y teniendo en cuenta la ecuación del enunciado:
    \( \displaystyle z = p q \; \rightarrow \; z = (y - C_1) \; \rightarrow \; q = \frac{z}{y-C_1}\)
Con lo que podemos escribir:
    \(\displaystyle dz = pdx + qdy = (y-C_1)dx + \frac{z}{y-C_1}dy \)
Y haciendo y constante resulta dy = 0 y nos queda:
    \( dz = (y-C_1)dx \; \rightarrow \; z = (y-C_1)x + \varphi(y) \)
Diferenciando e identificando términos, tenemos:
    \(dz = xdy + (y-C_1)dx + \varphi'(y)dy = (y-C_1)dx + [x + \varphi'(y)]dy \)
Y partir de ahí:
    \( \displaystyle \frac{z}{y-C_1} = x + \varphi'(y) \; ; \; \varphi'(y) = \frac{z}{y-C_1} - x = \frac{\varphi(y)}{y-C_1}\)
Con lo cual:
    \( \displaystyle \varphi'(y) = \frac{\varphi(y)}{y-C_1} \; \rightarrow \; \frac{d \varphi}{\varphi(y)} = \frac{dy}{y-C_1} \; \rightarrow \; \varphi(y) = C_2(y - C_1) \)
Por lo que, finalmente:
    \( z = (y-C_1)x + \varphi(y) = (y-C_1)x +C_2(y - C_1) = (y-C_1)(x+C_2)\)
Y este es un resultado que se comprueba facilmente:
    \( \displaystyle p = \frac{\partial z}{\partial x} = (y - C_1) \; ; \; q = \frac{\partial z}{\partial y} = (x + C_2) \; \rightarrow \; p q = (y-C_1)(x+C_2)\ = z \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás