Ejercicios de ecuaciones en derivadas
parciales - Respuesta del ejemplo 35
Tenemos una expresión de la forma F(x, y, z, p, q) donde:
\(\displaystyle p = \frac{\partial z}{\partial x} \; \; , \;
\; q = \frac{\partial z}{\partial y}\)
Y según lo que sabemos de teoría, podemos plantear
el sistema:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\frac{dx}{F_p} = \frac{dy}{F_q} = \frac{dz}{p·F_p + q·F_q} = \frac{d p}{-(F_x + p F_z)} = \\
\\
= \frac{d q}{-(F_y + q F_z)} \; \; \; (\ast)
\end{array} \)
Que en este caso se escribirá:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\frac{dx}{q+2x(y+1)} = \frac{dy}{p+y(y+2)} = \\
\\
\frac{dz}{2pq+2xp(y+1)+yq(y+2)} = \\
\\
= - \frac{dp}{2(y+1)p- 2(y+1)p} = - \frac{dq}{2xp + 2q - 2z} \\
\\
\end{array} \)
Y donde tenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{dp}{2(y+1)p- 2(y+1)p} = \frac{dp}{0} = Cte \; \; \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \; \; dp = 0 \; \; \Rightarrow \; \; p = C
\end{array}\)
Poniendo ese valor de p en la ecuación del enunciado, resulta:
\(\displaystyle q = \frac{2(y+1)z - 2x(y+1)C}{y(y+2) + C} =
\frac{2(y+1)(z - Cx)}{y(y+2) + C}\)
Sabemos, por otro lado, que se tiene la expresión general:
Con lo cual, en nuestro caso:
\(\displaystyle dz = C·dx + \frac{2(y+1)(z-Cx)}{y(y+2)
+ C}·dy\)
Y haciendo y = Cte:
\(\begin{array}{l}
dz = C·dx \; \; \rightarrow \; \; z = C·x + \varphi(y) \; \; \rightarrow \\
\\
\rightarrow \; \; dz = C·dx + \varphi'(y)·dy
\end{array}\)
Igualando las dos expresiones para el coeficiente de dy:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\varphi'(y) = \frac{2(y+1)(z-Cx)}{y(y+2)+C} = \frac{2(y+1)·\varphi(y)}{y(y+2) + C}\; \; \rightarrow \\
\\
\rightarrow \; \; \frac{\varphi'(y)}{\varphi(y)} = \frac{2(y+1)}{y(y+2) + C}
\end{array} \)
Con lo que tenemos:
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\frac{d\varphi}{\varphi(y)} = \frac{2(y+1)}{y(y+2) + C}·dy \; \; \rightarrow \\
\\
\rightarrow \; \; \ln \varphi(y) = \ln [y(y+2) + C] + \ln C_2
\end{array} \)
Y tomando antilogaritmos:
\(\varphi(y) = [y(y+2) + C]· C_2 \)
Por todo lo anterior, la solución final del problema será:
\(\begin{array}{l}
\varphi(y) = (y^2 + 2y + C)C_2 = z - Cx \; \; \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \; \; z = Cx + (y^2 + 2y + C)C_2
\end{array} \)