PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 35

Tenemos una expresión de la forma F(x, y, z, p, q) donde:
    \(\displaystyle p = \frac{\partial z}{\partial x} \; \; , \; \; q = \frac{\partial z}{\partial y}\)
Y según lo que sabemos de teoría, podemos plantear el sistema:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dx}{F_p} = \frac{dy}{F_q} = \frac{dz}{pF_p + qF_q} = \frac{d p}{-(F_x + p F_z)} = \\  \\ = \frac{d q}{-(F_y + q F_z)} \; \; \; (\ast) \end{array} \)
Que en este caso se escribirá:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dx}{q+2x(y+1)} = \frac{dy}{p+y(y+2)} = \\  \\ \frac{dz}{2pq+2xp(y+1)+yq(y+2)} = \\  \\ = - \frac{dp}{2(y+1)p- 2(y+1)p} = - \frac{dq}{2xp + 2q - 2z} \\  \\  \end{array} \)
Y donde tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{dp}{2(y+1)p- 2(y+1)p} = \frac{dp}{0} = Cte \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; dp = 0 \; \; \Rightarrow \; \; p = C \end{array}\)
Poniendo ese valor de p en la ecuación del enunciado, resulta:
    \(\displaystyle q = \frac{2(y+1)z - 2x(y+1)C}{y(y+2) + C} = \frac{2(y+1)(z - Cx)}{y(y+2) + C}\)
Sabemos, por otro lado, que se tiene la expresión general:
    \(dz = pdx + qdy\)
Con lo cual, en nuestro caso:
    \(\displaystyle dz = C·dx + \frac{2(y+1)(z-Cx)}{y(y+2) + C}·dy\)
Y haciendo y = Cte:
    \(\begin{array}{l} dz = Cdx \; \; \rightarrow \; \; z = Cx + \varphi(y) \; \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \; dz = Cdx + \varphi'(y)dy \end{array}\)
Igualando las dos expresiones para el coeficiente de dy:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \varphi'(y) = \frac{2(y+1)(z-Cx)}{y(y+2)+C} = \frac{2(y+1)\varphi(y)}{y(y+2) + C}\; \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \; \frac{\varphi'(y)}{\varphi(y)} = \frac{2(y+1)}{y(y+2) + C} \end{array} \)
Con lo que tenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{d\varphi}{\varphi(y)} = \frac{2(y+1)}{y(y+2) + C}dy \; \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \; \ln \varphi(y) = \ln [y(y+2) + C] + \ln C_2 \end{array} \)
Y tomando antilogaritmos:
    \(\varphi(y) = [y(y+2) + C]· C_2 \)
Por todo lo anterior, la solución final del problema será:
    \(\begin{array}{l} \varphi(y) = (y^2 + 2y + C)C_2 = z - Cx \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; z = Cx + (y^2 + 2y + C)C_2 \end{array} \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás