PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 38

Esta ecuación puede resolverse por el método que estamos considerando a partir del ejercicio 35, es decir, planteando el sistema dado por la ecuación (*) de dicho ejercicio 35, que en nuestro caso será:
    \(\displaystyle \frac{dx}{F_p} = \frac{dy}{F_q}= - \frac{dp}{F_x} = - \frac{dq}{F_y} = - \frac{dq}{\phi_y} = \frac{dy}{\phi_q}\)
Tomando la primera y la tercera de estas expresiones resulta:
    \(\displaystyle \frac{dx}{F_p} = - \frac{dp}{F_x} \; \; \Rightarrow \; \; F_x dx + F_p dp = 0 \; \; \Rightarrow \; \; F(x, p) = C_1 \)
Análogamente, tomando la quinta y la sexta expresiones, obtenemos:
    \(\displaystyle \frac{dy}{\phi_q} = - \frac{dq}{\phi_y} \; \; \Rightarrow \; \; \phi_y dy + \phi_q dq = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \phi(y, q) = C_2 \)
Podemos despejar entonces p y q para obtener:
    \( \left. \begin{matrix} p = p(x, C_1)\\ \\ q = q(y, C_2) \end{matrix}\right \} \; \; z = \int p(x, C_1)dx + \int q(y, C_2)dy \)
En el ejemplo del enunciado tenemos:
    \(\displaystyle F(x, p) = C_1 = x^4 p \; \; \Rightarrow \; \; p = \frac{C_1}{x^4}\)

    \(\displaystyle \phi (y, q) = C_2 = - y^2 \; \; \Rightarrow \; \; q = - \frac{C_2}{y^2}\)
Y a partir de ahí resultará:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} dz = pdx + qdy \; \; \rightarrow \; \; dz = \frac{C_1}{x^4}dx - \frac{C_2}{y^2}dy \; \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \; z = - \frac{C_1}{x^3} + \frac{C_2}{y} + C_3 \end{array} \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás