Ejercicios de ecuaciones en derivadas
parciales - Respuesta del ejemplo 37
De la solución completa dada en el enunciado y obtenida
en la solución del
ejercicio 35,
podemos obtener las expresiones:
\(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial C_1} \; \; ; \; \;
\frac{\partial z}{\partial C_2}\)
A partir de las cuales y considerando además la solución
general podemos formar el sistema:
\( \left. \begin{matrix} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial
C_1} = x + C_2 = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \\\displaystyle
\frac{\partial z}{\partial C_2} = y^2 + 2y + C_1 = 0 \; \; \\
\\ z = C_1x + (y^2 + 2y + C_1)C_2 \end{matrix}\right \} \; \;
z= (-y^2 - 2y)x + [(y^2 + 2y) + (-y^2 - 2y)]\)
Y simplificando:
\(z = (-y^2 - 2y)x \; \; \rightarrow \; \; z + (y^2 + 2y)x =
0 \)
Y el resultado anterior es solución singular de la ecuación
diferencial dada. Podemos comprobarlo sustituyendo los valores
de p, q y z dados
\(\displaystyle p = \frac{\partial z}{\partial x} = - y^2 -
2y\)
\(\displaystyle q = \frac{\partial z}{\partial y} = - (2y+2)x\)
En la ecuación diferencial y comprobando que se obtiene
una expresión idénticamente nula.