Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

En la ecuación diferencial resuelta en el ejercicio 35 y cuya solución completa es:

\(z = C_1x + (y^2 + 2y + C_1)C_2\)

Encontrar las soluciones singulares .

- Respuesta 37

De la solución completa dada en el enunciado y obtenida en la solución del ejercicio 35, podemos obtener las expresiones:

\(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial C_1} \; \; ; \; \; \frac{\partial z}{\partial C_2}\)

A partir de las cuales y considerando además la solución general podemos formar el sistema:

\( \left. \begin{matrix} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial C_1} = x + C_2 = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \\\displaystyle \frac{\partial z}{\partial C_2} = y^2 + 2y + C_1 = 0 \; \; \\ \\ z = C_1x + (y^2 + 2y + C_1)C_2 \end{matrix}\right \} \; \; z= (-y^2 - 2y)x + [(y^2 + 2y) + (-y^2 - 2y)]\)

Y simplificando:

\(z = (-y^2 - 2y)x \; \; \rightarrow \; \; z + (y^2 + 2y)x = 0 \)

Y el resultado anterior es solución singular de la ecuación diferencial dada. Podemos comprobarlo sustituyendo los valores de p, q y z dados

\(\displaystyle p = \frac{\partial z}{\partial x} = - y^2 - 2y\)

\(\displaystyle q = \frac{\partial z}{\partial y} = - (2y+2)x\)

En la ecuación diferencial y comprobando que se obtiene una expresión idénticamente nula.