PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

Ver enunciado en

Problemas de continuidad de funciones

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 58
La función a estudiar tiene la forma:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    f(x,y) = \frac{x|y|}{\sqrt{(x^2+y^2)}} \quad si \; (x,y) \neq (0,0) \\
     \\
    f(0,0) = 0
    \end{array} \)

Haciendo un cambio de variable, tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} x= p\cos \phi \\  \\ y = p\sin \phi \end{array}\quad \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{p\rightarrow 0}\frac{p^2·\cos \phi \sin \phi }{p} = 0 \)

Y por lo tanto, se cumple la primera condición.

Las derivadas parciales existen, ya que se tiene:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    D_xf(0,0) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h+0 , 0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(0/h) - 0}{h} = \\
    = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0 - 0}{h} = 0 \\
     \\
    D_yf(0,0) = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0 , k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{(0·k/k) - 0}{k} = \\
    = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{0 - 0}{k} = 0
    \end{array} \)

También existe la derivada en la dirección de cualquier vector \(\vec{v} = (a,b) \)

    \(\displaystyle \begin{array}{l} f'[(0,0), \vec{v}] = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f[(0,0), h\vec{v}]- f(0,0)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(ha, hb)- f(0,0)}{h} = \\  \\ = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{hahb}{h\sqrt{(a^2+b^2)}} - 0}{h} = \frac{a|b|}{\sqrt{(a^2+b^2)}} \end{array} \)

Comprobamos, por último, el 4º apartado de las condiones dadas en el ejercicio 56. En el que se ha de cumplir:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{f(0+h,0+k)- f(0,0) - \lambda(h,k)}{\|(h,k)\|} = 0 \\
     \\
    \textrm{ donde } \lambda(h,k)= df(0,0)
    \end{array}\)

Según hemos visto anteriormente, se cumple:

    \(\displaystyle \lambda(h,k)= \left(D_1f(0,0)\quad D_2f(0,0)\right)\left( \begin{array}{l} h \\ k \\ \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} h \\ k \\ \end{array} \right) = 0 \)

Por lo tanto, caso de que exista, la diferencial tiene que ser la aplicación nula. De ahí tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{f(h,k)- f(0,0) - \lambda(h,k)}{\|(h+k)\|} = \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{\left|\frac{h·k}{\sqrt{h^2+k^2}}- 0 - 0\right|}{\sqrt{h^2+k^2}} \\
     \\
    \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{||h|·|k||}{h^2+k^2} = \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{h·k}{h^2+k^2}
    \end{array}\)

Caso de que exista este límite, su valor ha de ser nulo sobre cualquier dirección. Tomamos, por ejemplo, la dirección \(\vec{h} = \mu·\vec{k} \)

    \(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{hk}{h^2+k^2} =\lim_{k\rightarrow 0} \frac{\muk^2}{k^2(\mu^2+1)} = \frac{\mu}{\mu^2+1} \)

Y como el valor que toma la expresión depende \(\mu \) , podemos decir que no existe el límite y, en consecuencia, la hipótesis de existencia de la diferencial es falsa. Por lo tanto, la función estudiada no es diferenciable en (0,0).


EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás