PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 57
Vamos a estudiar la función definida en la forma:
    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} f(x,y) =x·\sin \frac{1}{x^2+y^2}\quad si\; (x,y) \neq (0,0)\\  \\ f(0,0) = 0 \\ \end{array} \right. \)

La función es continua en (0,0) pues se tiene:

    \(\begin{array}{l}
    \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 : \forall (x,y)\in R^2 \wedge |(x,y) - (0,0)| < \delta \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow |f(x,y) - f(0,0)| < \varepsilon
    \end{array}
    \)

Ya que podemos poner:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    |f(x,y) - f(0,0)|= \left|x·\sin \frac{1}{x^2+y^2}\right| = \\
     \\
    = |x|·\left|\sin \frac{1}{x^2+y^2}\right|\leq |x| \rightarrow 0
    \end{array} \)

Así pues, hemos de ver si existen las derivadas parciales en (0,0) ya que se cumple la primera condición.

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    D_1f(0,0) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h+0,0)-f(0,0)}{h} =\\
     \\
    = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h·\sin(1/h^2)- 0}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\sin(1/h^2)
    \end{array} \)

Y este límite no existe, pues, para valores infinitesimales de h, su valor oscila entre 1 y -1.

Tenemos en consecuencia que la función estudiada no será diferenciable en (0,0), por no existir la derivada parcial respecto a x en dicho punto.

La derivada parcial respecto a \(y\) si existe, y se tiene:

    \(\displaystyle D_2f(0,0) = \lim_{k\rightarrow 0} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}= \lim_{k\rightarrow 0} \frac{0\sin(1/k^2)}{k}= 0 \)

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás