PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 59
La cuarta función se ha definido por:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    f(x,y) = (x^2+y^2)·\sin \left(\frac{1}{\sqrt{(x^2+y^2)}}\right)\quad si \; (x,y) \neq (0,0) \\
     \\
    f(0,0) = 0
    \end{array} \)

Estudiamos primero su continuidad, para lo cual haremos un cambio de variable:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} x= p\cos \phi \\  \\ y = p\sin \phi \end{array}\quad \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y) = \lim_{p\rightarrow 0}p^2.\sin\left(\frac{1}{p}\right) = 0 \)

Y la función si es continua en (0,0).

Pasamos a estudiar la existencia de las derivadas parciales:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    D_xf(0,0) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h+0 , 0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^2·\sin\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \\
    = \lim_{h\rightarrow 0}h·\sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0 \\
     \\
    D_yf(0,0) = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(0 , 0+k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{k^2·\sin\left(\frac{1}{k}\right) - 0}{k} = \\
    = \lim_{k\rightarrow 0}k·\sin\left(\frac{1}{k}\right)= 0
    \end{array} \)

Vemos que también existen las derivadas parciales de la función en el punto (0,0).

El tercer apartado (ver problema 56) no lo comprobamos, y pasamos al cuarto, en el que se ha de cumplir:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{f(h,k)- f(0,0) - \lambda(h,k)}{\|(h,k)\|} = 0 \\
     \\
    \textrm{ donde } \lambda(h,k)= df(0,0)
    \end{array}\)

Por ser \( D_1f(0,0) = D_2f(0,0) =0\) , tenemos:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{(h^2+k^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}\right)-0-0}{\sqrt{h^2+k^2}}= \\  \\ = \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\sqrt{h^2+k^2}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}\right) = 0 \end{array} \)

Y la función estudiada si será diferenciable en (0,0), verificándose que \(\lambda = df(0,0) \) , aplicación de \(R^2\) en R es nula.


EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás