PROBLEMAS RESUELTOS MATEMÁTICAS
dominios y continuidad de las funciones

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Problemas de continuidad de funciones

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Ejercicios de continuidad de funciones

Respuesta al ejercicio 56
Para que una función sea diferenciable en un punto \(x_o , y_o\) se ha de verificar lo siguiente:

    1º Ha de ser continua en \(x_o,y_o \)
    2º Han de existir sus derivadas parciales \(D_x(x_o,y_o)\; y\; D_y(x_o,y_o)\)
    3º Tiene que existir la derivada de la función en el punto a través de cualquier vector (derivada direccional \(f'(x_o,y_o) \: ,\: \vec{v} \) ).
    4º Si \(\lambda(h,k) \) simboliza la diferencial y \(\|(h,k)\| = \sqrt{(h^2+k^2)} \) , ha de existir el límite:

      \(\displaystyle \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\frac{|f(x_o+h , y_o+k)- f(x_o,y_o) - \lambda(h,k)|}{\|(h,k)\|} = 0\)

Pasamos a considerar la función:

    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} f(x,y) = \frac{x·y^2}{x^2+y^4}\quad si\; (x,y) \neq (0,0)\\  \\ f(0,0) = 0 \\ \end{array} \right. \)

Vamos a considerar el límite de la función en el punto (0,0), y en la dirección \(x = \theta·y^2 \) puesto que si existe ha de ser igual en todas las direcciones:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x·y^2}{x^2+y^4} = \lim_{y\rightarrow 0}\frac{\theta·y^4}{\theta^2·y^4+y^4} = \\  \\ = \lim_{y\rightarrow 0}\frac{\theta·y^4}{(\theta^2 + 1)y^4} = \frac{\theta}{\theta^2 + 1} \end{array} \)

Vemos que el límite depende \(\theta \) , por lo tanto, no existirá ya que ha de tener un valor único. Podemos decir entonces que la función no es diferenciable pues no se cumple la condición de continuidad.

Pese a no ser la función continua en (0,0) puede ocurrir que existan sus derivadas parciales en dicho punto. Así ocurre en este caso, ya que se tiene:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    D_xf(0,0) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h+0 , 0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(0/h^2) - 0}{h} = \\
    = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0 - 0}{h} = 0 \\
     \\
    D_yf(0,0) = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(k+0 , 0) - f(0,0)}{k} = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{(0/k^4) - 0}{k} = \\
    = \lim_{k\rightarrow 0}\frac{0 - 0}{k} = 0
    \end{array} \)

Cuando las derivadas parciales \(D_1f \; y \; D_2f \) están definidas en un entorno del punto \(x_o,y_o \) y son continuas en \(x_o,y_o \) , la función f es diferenciable. En nuestro caso podemos ver que \(D_1f \; y \; D_2f \) no son continuas:

    \(\displaystyle D_1f(x,y)\quad \left\{ \begin{array}{l} \frac{y^6 - x^2y^2}{(x^2+y^4)^2}\quad si\; (x,y) \neq (0,0)\\  \\ 0 \quad si\; (x,y) = (0,0) \\ \end{array} \right. \)


    \(\displaystyle D_2f(x,y)\quad \left\{ \begin{array}{l} \frac{6xy^5 + 2x^3y}{(x^2+y^4)^2}\quad si\; (x,y) \neq (0,0)\\  \\ 0 \quad si\; (x,y) = (0,0) \\ \end{array} \right. \)

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás