Ejercicios de álgebra de Boole
Mediante manipulaciones algebraicas, empleando los teoremas del
álgebra booleana, verificar las ecuaciones siguientes:
\(\begin{array}{l}
(A+\overline{B} + AB)(A+\overline{B})(A+\overline{B})\overline{A}·B
= 0 \\
(A+\overline{B}+A·\overline{B})(AB+ \overline{A}·C
+ AC) = AB + A·\overline{B}·\overline{C} \\
(AB + C + D)(C + \overline{D})(C + \overline{D} + E) = A·B·\overline{D}
+ C \\
\overline{A}·B(\overline{D} + D·\overline{C})
+ (A + D·\overline{A}·C)B = B
\end{array} \)
Respuesta al ejercicio 25
Para la primera expresión tenemos:
\(\begin{array}{l}
(A+\overline{B} + AB)(A+\overline{B})(A+\overline{B})\overline{A}·B
= \\
(A+\overline{B})(A+\overline{B})(A+\overline{B})\overline{A}·B
=\\
(A+\overline{B})\overline{A}·B = A·\overline{A}·B
+ \overline{B}·\overline{A}·B = 0
\end{array}
\)
Donde en el primer caso hemos considerado \((A + AB = A(1+B)= A\);
en el segundo \(A·A = A\) y en el tercero \(A·\overline{A}
= 0 \; ; \; A·B= B·A\).
Para la segunda expresión tenemos:
\( \begin{array}{l}
(A+\overline{B}+A·\overline{B})(AB+ \overline{A}·C
+ AC) = \\
(A + \overline{B})(A·B + \overline{A}·C) = AB
+ \overline{A}·\overline{B}·C
\end{array} \)
Donde hemos considerado un teorema demostrado en el
ejercicio
9.
Para la tercera expresión, hacemos:
\(\begin{array}{l}
(A·B + C + D)(C + \overline{D})(C + \overline{D} + E)
= \\
(A·B·C + A·B·\overline{D} + C +
C·\overline{D} + D·C)(C + \overline{D} + E) =
\\
= C + C·\overline{D} + C·E + A·B·\overline{D}·C
+ A·B·\overline{D}·\overline{D} + A·B·\overline{D}·E
= \\
= C(\overline{D} + E + A·B·\overline{D} + 1) +
A·B·\overline{D}(1+E) = C + A·B·\overline{D}
\end{array} \)
Por último, para la cuarta expresión, tenemos:
\(\begin{array}{l} \overline{A}·B(\overline{D} + D·\overline{C})
+ (A + D·\overline{A}·C)B =\\ = \overline{A}·B(\overline{D}+\overline{C})
+ (A+D·C)B =\\ = B[\overline{A}(\overline{D}+\overline{C})+
(A + D·C)] = B[(\overline{D}+\overline{C})+A+D·C] = \\ = B(\overline{D}
+ \overline{C} + A + DC) =B[(\overline{D}+D·C)+ \overline{C}
+ A] = \\ = B[(\overline{D}+C)+ \overline{C} + A] = B(1 + \overline{D}
+ A) = B·1 = B \end{array}\)