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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS



ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir como una función exclusiva de y/x:



Una ecuación de la forma



Es homogénea si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Esto es así, pues podemos poner:



Y si se verifica la condición pedida:



En particular, haciendo t = 1/x resulta:



Para resolver una ecuación homogénea hacemos el cambio (y, x) a (v, x), con v = y/x. En esas condiciones podemos poner:



Que es una ecuación de variables separadas:



Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial:



Haciendo el cambio v = y/x tenemos:



Y separando variables para integrar:



Donde para encontrar el valor de los coeficientes indeterminados A y B hacemos:



Y dando a v los valores 0 y -1, respectivamente, obtenemos A = 1, B = -1 y nos queda:



Y tomando antilogaritmos:



Vamos a ver ahora cual es la forma general del factor integrante de una ecuación homogénea. Sea la ecuación diferencial



Si P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado, n, tomando t = 1/x, resulta:



Si hacemos el cambio v = y/x tenemos:



Y sustituyendo en la expresión anterior:



Que también podemos poner:



Multiplicando ahora todos los términos por el factor:



Resulta, finalmente:



Que es una ecuación de variables separadas cuya resolución ya conocemos.

El factor integrante se puede expresar en función de x e y; para ello hacemos:



Pero teniendo en cuenta que P(x, y) y Q(x, y) son funciones homogéneas de grado n, nos queda finalmente:



Cuando se tiene:



El primer término de la ecuación (A) se anula y esta queda en la forma:



En esta expresión, en general, se tiene que x es distinto de 0, por lo que se ha de tener:



Que es la solución general en el caso planteado.

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tema escrito por: José Antonio Hervás