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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

DEFINICIONES GENERALES

Toda relación de la forma:



Que ligue una variable independiente, x, con una función, y, de ella y las n primeras derivadas y’, y”, …, y(n), se llama ecuación diferencial ordinaria de orden n.

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de orden mayor contenido en ella.

El grado de una ecuación diferencial es el exponente a que está elevada la derivada de mayor orden.

Ejemplo.- La ecuación:



Es una ecuación de primer orden y segundo grado.

Toda relación de la forma:



Que liga dos o más variables independientes con una función, z, de ellas y las derivadas parciales hasta el orden n, se llama ecuación en derivadas parciales de orden n. Así, la ecuación



Es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, con tres variables independientes.

Se llaman integrales de una ecuación diferencial, o soluciones de dicha ecuación diferencial, a una o varias ecuaciones que ligan a las funciones incógnitas y a las variables independientes, tales que la ecuación diferencial dada se convierte en una identidad al sustituir en la misma las funciones incógnitas y sus derivadas determinadas por estas ecuaciones.

Integrar una ecuación diferencial significa hallar sus soluciones. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden contener constantes o funciones que pueden elegirse arbitrariamente (funciones y constantes arbitrarias). De este modo, las soluciones de la ecuación diferencial no se determinan unívocamente.

Generalmente, a las funciones incógnitas se les imponen condiciones complementarias llamadas condiciones iniciales o condiciones de contorno o de frontera, que consisten en que las funciones incógnitas, así como algunas de sus derivadas, tienen que tomar unos valores dados para algunos valores determinados de las variables independientes. Con estas condiciones complementarias, puede ocurrir que el problema tenga solución única.

La solución de una ecuación diferencial se llama general si, mediante una elección adecuada de las constantes arbitrarias o funciones, se puede obtener de ella una solución particular determinada, correspondiente a cualquier condición inicial o de contorno que admita solución única. La ecuación diferencial puede tener soluciones singulares, las cuales no pueden obtenerse de la integral general para ningunos valores particulares de las constantes arbitrarias o de las funciones.

Ejemplo. Sea la ecuación diferencial:



La solución general de esta ecuación viene dada por la expresión:
    y = Cx + C²
Que determina para cada valor de C una recta del haz señalado en la figura.

parábola envolvente parábolas


Observando la figura podemos ver que la parábola envolvente de todas las rectas y que tiene por ecuación:
    x² + 4y = 0
Es también solución de la ecuación diferencial pero no se obtiene a partir de la general dando un determinado valor a C. Dicha solución es, por consiguiente, una solución singular. Esta solución singular se puede obtener del sistema:


Y eliminando C entre ambas ecuaciones.

Ejemplo.- sea la ecuación diferencial:
    2y = xy'
La solución general de esta ecuación es:
    y = x²/4a
Cada parábola dibujada en la figura anterior es una solución particular de la ecuación y el conjunto de las parábolas es la solución general. No obstante, la ecuación y = 0 verifica idénticamente la ecuación diferencial y no se obtiene como caso particular de la solución general; es, por tanto, una solución singular.

La solución general de una ecuación diferencial puede venir expresada en forma paramétrica:
    y = y(t) ; x = x(t)
También puede aparecer en forma implícita. Por ejemplo, la ecuación:
    xy = Ln y + C
Es solución de la ecuación diferencial:



Puesto que derivando respecto a x tenemos:



Una vez encontrada la solución general de una ecuación diferencial podemos calcular cualquier solución particular. Por ejemplo:



E integrando por partes:



Si queremos obtener la solución particular para el caso y = 3 para x = 1, podemos poner:



Que es la solución particular para el caso estudiado.

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tema escrito por: José Antonio Hervás