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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS



TEOREMA DE EXISTENCIA

Este teorema puede enunciarse en la forma:

Si f(x, y) es analítica en un cierto dominio al que pertenece (x0, y0) en un cierto entorno de (x0, y0), entonces existe una función analítica y solo una, y(x) que verifica la ecuación diferencial y tal que y(x0) = yo.

Demostración.-

El proceso que vamos a desarrollar es un método de resolución de ecuaciones diferenciales conocido como método de aproximaciones de Picard.

Dada la ecuación normal (1), consideramos las siguientes cuestiones:

1º) dado un punto (x0, y0), la función f(x, y) es continua en un dominio cerrado y acotado que contenga al punto (x0, y0).

2º) la función f(x, y) es de variación acotada respecto a la variable y, es decir:



Si se cumplen estas condiciones, existe una única función que verifica:



El dominio D que contenga a (x0, y0) lo vamos a representar por el rectángulo



Denotaremos por M y h, respectivamente, los siguientes valores:



A continuación, consideraremos las siguientes funciones, donde



Hemos dicho que se ha de cumplir:



Veamos que las anteriores funciones cumplen dicha condición:



Esto es así puesto que se tiene:


Para el resto de las funciones yn tenemos el mismo resultado, es decir:


Y, en general:



El siguiente paso a desarrollar es demostrar que la sucesión {yn(x)} converge uniformemente a y(x). Para ello tomamos dos términos contiguos:



Donde K sale de aplicar la segunda condición dada a f(x, y).

Para k = 1 obtenemos:


Para k = 2 resulta:



Para k = 3 nos queda:



Y así sucesivamente hasta llegar a:



Pero los valores b, K y |x - x0| están acotados, por lo que, cuando n tiende a infinito, la anterior expresión tenderá a 0 y podemos decir:



Por último nos queda demostrar que la función obtenida es única. Supongamos que existe otra:



Por lo visto anteriormente podemos poner:



De donde resulta:



Siendo N el valor medio de en el intervalo [x, x0]

La anterior desigualdad se deberá cumplir para todos los valores de x ∈ D. Ahora bien, al tender x a x0, se tiene:



Lo que contradice la última acotación a menos que sea idénticamente:
    y(x) ≡ z(x)
Como queríamos demostrar.

Hemos dicho que la demostración del teorema de existencia es a la vez un método de resolución de ecuaciones diferenciales; para aclarar esta cuestión vamos a considerar el siguiente ejemplo:



Esta ecuación puede resolverse como lineal ya que tenemos:


Y teniendo en cuenta que y(0) = 0 nos queda:



Obtenida la solución por un método ya conocido vamos a resolver ahora el problema por el método de aproximación. De ese modo tenemos:

método de aproximación

Con este resultado podemos poner:

serie sumable

En general, la serie que se obtiene no es sumable, aunque en este caso lo haya sido.

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tema escrito por: José Antonio Hervás