PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

En un medio estratificado n(z), obtener la ecuación diferencial de la congruencia de rayos que proceden de un manantial puntual y demastrar que se cumple la relación.
    n.sen i = Cte.

siendo i el ángulo de los rayos con las planos z = Cte.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 2

Obtenemos la ecuación diferencial a partir del principio mínimo de Fermat :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    n = n(z) \; ; \; \delta \oint_1^2 n(z)·ds = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \delta \oint_1^2 n(z)·\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = 0
    \end{array} \)
Y dividiendo por dz :
    \(\displaystyle \delta \oint_1^2 n(z)·\sqrt{x'^2 + y'^2 + 1} = 0 \)
Tal como hemos visto en problemas anteriores,la función f del integrando tiene que cumplir las condiciones de Euler-Lagrange sobre cálculo de variaciones. En este caso tenemos :
    \(\displaystyle\frac{df}{dx} - \frac{d}{dx}·\frac{\partial f}{\partial x'} = 0 \quad ; \quad \frac{df}{dy} - \frac{d}{dy}·\frac{\partial f}{\partial y'} = 0 \)
Y puesto que f no depende explícitamente ni de x ni de y,resultará :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{df}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{d}{dx}·\frac{\partial f}{\partial x'} = 0\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x'} = C_1 \\  \\ \frac{df}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{d}{dy}·\frac{\partial f}{\partial y'} = 0\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial y'} = C_2 \end{array} \)
Con lo que obtenemos las expresiones :
    \(\displaystyle C_1 = n(z)·\frac{x'}{\sqrt{x'^2 + y'^2 + 1}}\quad ; \quad C_2 = n(z)·\frac{y'}{\sqrt{x'^2 + y'^2 + 1}} \)
que agrupadas nos dan :
    \(\displaystyle \frac{y'}{x'} = \frac{C_2}{C_1} = C = \frac{dy}{dx} \Rightarrow y = C·x + K \quad (1) \)
E interpretamos que la trayectoria se desarrolla en un plano paralelo al eje z. El segundo apartado no lodesarrollamos.

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Página publicada por: José Antonio Hervás