PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Obtener del principio de Fermat el invariante de Abbe o relación de conjugación en el dioptrio esférico,cuando los rayos estan poco inclinados con el eje.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 1

Por la observación de la figura podemos ver que el camino óptico recorrido por un rayo es:

    \( I = n·AB + n'·AB' \)


Según el principio de Fermat,la variación de este camino óptico en función de la variable que se considere (\(n\textrm{ o }\varphi\)) ha de ser cero.

De la figura tenemos las siguientes relaciones:

esquema óptico

    \(\begin{array}{l}
    AB = [r^2 + (r-s)^2 - 2r(r-s)\cos \varphi]^{1/2} \\
     \\
    BA'= [r^2 + (s'-r)^2 + 2r(s'-r)\cos \varphi]^{1/2}
    \end{array} \)
Multiplicando la primera por n y la segunda por n' y sumando,obtenemos AA'.
Para calcular la variación del camino óptico derivamos las expresión que nos da \(\varphi\) tomando como variable e igualando a cero:
    \( \displaystyle AA' = \frac{n·2r(r-s)\sin\varphi}{2·AB} - \frac{n'·2r(s'-r)\sin\varphi}{2·BA'} = 0 \)
aDonde hemos puesto AB y BA' en vez de sus expresiones. Tenemos entonces,simplificando
    \( \displaystyle \frac{n(r-s)\sin \varphi}{AB} = \frac{n'(s'-r)\sin \varphi}{AB'}\qquad (1) \)
Por otra parte, podemos ver que esta expresión es equivalente a la ley de Snell de la refracción (deducción de esta ley a partir del principio de Fermat),pues aplicando el teorema de los senos tenemos:
    \( \displaystyle \frac{r-s}{\sin \varepsilon} = \frac{AB}{\sin \varphi} \Rightarrow \sin \varepsilon= \frac{r-s}{AB}\sin \varphi \)
Y análogamente:
    \( \displaystyle \frac{s'-r}{\sin \varepsilon'} = \frac{BA'}{\sin \varphi} \Rightarrow \sin \varepsilon' = \frac{s'-r}{BA'}\sin \varphi \)
Y es evidente que sustituyendo estos valores en (1) se tiene la ley de Snell. Continuando con el problema podemos simplificar aun más la expresión (1),obteniendo :
    \( \displaystyle\frac{n(r-s)}{AB} = \frac{n'(s'-r)}{BA'} \)
Pero en la aproximación de Gauss (primera aproximación en el estudio de sistemas ópticos) podemos tomar :
    \( AB = -s \quad;\quad BA' = s' \)
por lo que,finalmente,dividiendo ambos miembros por r :
    \( \displaystyle \frac{n(r-s)}{-rs} = \frac{n'(s'-r)}{rs'} \Rightarrow n\left(\frac{1}{r}- \frac{1}{s}\right)= n'\left(\frac{1}{r}- \frac{1}{s'}\right)\)
que es el invariante de Abbe.

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Página publicada por: José Antonio Hervás