Cambio de variable en derivadas parciales
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Respuesta al ejercicio 8
Recordando ahora la expresión general de \( dz \) podemos
poner:
\( \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F'_u}{F'_u
+ F'_v}\quad ;\quad \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F'_v}{F'_u
+ F'_v} \)
Como las variables \( x \quad e\quad y \) son independientes, la
expresión de la diferencial segunda será:
\( \displaystyle d^2 z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2
+ 2·\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}dx·dy
+ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2 \)
Por lo tanto, para calcularla debemos hallar el valor de las expresiones:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{F'_u}{F'_u + F'_v} \right)\;
;\;\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{F'_v}{F'_u + F'_v}
\right) \\
\\
\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{F'_v}{F'_u + F'_v} \right)
\end{array} \)
Para lo cual hacemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial F'_u}{\partial x} = \frac{\partial F'_u}{\partial
u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial F'_u}{\partial
v}\frac{\partial v}{\partial x} = F^{\prime\prime}_{uu} \\
\\
\frac{\partial F'_u}{\partial x} = \frac{\partial F'_u}{\partial
u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial F'_u}{\partial
v}\frac{\partial v}{\partial x} = F^{\prime\prime}_{uu} \\
\\
\frac{\partial F'_u}{\partial y} = \frac{\partial F'_u}{\partial
u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial F'_u}{\partial
v}\frac{\partial v}{\partial y} = F^{\prime\prime}_{uv} \\
\\
\frac{\partial F'_v}{\partial y} = \frac{\partial F'_v}{\partial
u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial F'_v}{\partial
v}\frac{\partial v}{\partial y} = F^{\prime\prime}_{vv}
\end{array} \)
Con lo que la expresión \( d^2 z\) se puede poner, después
de hacer algunos ajustes:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{F^{\prime\prime}_{vu}F'_u -F^{\prime\prime}_{uu}F'_v }{(F'_u+F'_v)}·dx^2
+ 2·\frac{F^{\prime\prime}_{uu}F'_v -F^{\prime\prime}_{vu}F'_u
}{(F'_u+F'_v)}·dxdy + \\
\\
+ \frac{F^{\prime\prime}_{vu}F'_v -F^{\prime\prime}_{vv}F'_v }{(F'_u+F'_v)}·dy^2
\end{array} \)