Ejercicios de termodinámica

Dos cuerpos idénticos de capacidad calorífica constante y cuyas temperaturas respectivas T1 y T2 se utilizan como focos caloríficos de un motor térmico. Si los cuerpos permanecen a presión constante y no experimentan cambios de fase, demuéstrese que la cantidad de trabajo obtenible es:

W = C_p(T₁ + T₂ - 2T_f)

donde T_f es la temperatura final alcanzada por ambos cuerpos.
Demuéstrese que cuando W es máximo se cumple :

\( T_f = \sqrt{T_1·T_2} \)

- Respuesta al ejercicio 9

Podemos considerar que el sistema compuesto está térmicamente aislado, con lo que no habrá transferencia de energía con el exterior, es decir :

ΔU = Q + W = 0

Según eso se tiene W = -Q y, si el proceso es a presión constante tendremos :

\( \displaystyle \begin{array}{l} Q = Q_1 + Q_2 = \triangle H_1 + \triangle H_2 = \\  \\ = \int_{T_1}^{T_f}C_pdT + \int_{T_2}^{T_f}C_pdT = (2T_f - T_1 - T_2)C_p \end{array}\)

con lo que resulta :

W = - Q = - (2T_f - T₁ - T₂)C_p = C_p(T₁ + T₂ - 2T_f)

Para obtener el trabajo máximo hemos de considerar un proceso reversible. En tal caso la variación de entropía del sistema será nula y podemos escribir :

ΔS = ΔS₁ + ΔS₂ = 0

Para un proceso reversible a presión constante, la variación de entropía viene dada por :

dS = m·(C_p/T)·dT

con lo cual:

\( \displaystyle \triangle S = C_p\int_{T_1}^{T_f}\frac{dT}{T} + C_p\int_{T_2}^{T_f}\frac{dT}{T} = \)

\( \displaystyle = C_p\ln \left(\frac{T_f}{T_1}\right)+ C_p\ln \left(\frac{T_f}{T_2}\right) \Rightarrow C_p\ln \left(\frac{T_f^2}{T_1·T_2}\right) = 0 \)

y a partir de ahí, considerando que C_p no es nulo :

\( \displaystyle\ln \left(\frac{T_f^2}{T_1·T_2}\right) = 0 \Rightarrow \frac{T_f^2}{T_1·T_2} = 1 \Rightarrow T_f = \sqrt{T_1T_2} \)

como queríamos demostrar.