PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
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Ejercicios de Física General

Un cuerpo de masa m se encuentra en una sima de profundidad p; calcular su energía potencial con respecto a la línea superficial de la Tierra.

Respuesta al ejercicio 73

Para obtener el valor de la energía potencial de un cuerpo situado a una profundidad x de la superficie de la Tierra debemos conocer el valor de la aceleración de la gravedad en ese punto. Para calcular dicho valor consideramos, según se demuestra matemáticamente, que para puntos situados en el interior de la Tierra solo influye la masa de ésta que queda interiormente a la cota del punto y tendremos:
    \(M_x = \rho \, V_x = \rho \times \frac{4}{3} \times \pi (R - x)^3\)
Y el valor de g en dicho punto será:
    \( g_x = \displaystyle G \times \frac{M_x}{(R-x)^2} = G \times \rho \times \frac{4}{3} \times \pi (R - x) \)
Si la cota varía en una cantidad dx, la variación de la aceleración de la gravedad será:
    \( \displaystyle dg_x = - G \rho \times \frac{4}{3} \times \pi \, dx\)
Y dividiendo miembro a miembro las dos expresiones anteriores para eliminar constantes, nos queda :
    \( \displaystyle \frac{dg_x}{g_x} = - \frac{dx}{R-x} \)
Integrando la ecuació anterior entre los límites 0 y p obtenemos:
    \( \displaystyle \int_0^p \frac{dg_x}{g_x} = - \int_0^p \frac{dx}{R-x} \Rightarrow \; \ln\left(\frac{g_p}{g_0}\right) = \ln \left(\frac{R-p}{R}\right)\)
Y tomando antilogaritmos:
    \( \displaystyle \frac{g_p}{g_0} = \frac{R-p}{R} \Rightarrow g_p = g_0 \, \frac{R-p}{R} \)
Con lo cual, un cuerpo situado a una pofundidad x estará sometido a una fuerza:
    \( \displaystyle F = m ˇ g_x = g_0 ˇ \frac{R-x}{R} \)
De ese modo, el trabajo que realiza el campo gravitatorio para llevarlo desde la superficie de la Tierra, con x = 0, hasta esa profundidad p, será:
    \( \displaystyle W = \int _0^p m \, g_0 \, \frac{R-x}{R} \, dx = \frac{mg_0}{R} \left[Rx - \frac{x^2}{2}\right]_0^p = m \, g_0 \, p \left(1 - \frac{p}{2R}\right)\)
Este trabajo será igual a la variación de energía potencial, con lo que tendremos:
    \( \displaystyle Ep_0 - Ep_p = m \, g_0 \, p \left(1 - \frac{p}{2R}\right)\)
Y tomando como origen de energías potenciales el valor Epo resultará finalmente:
    \( \displaystyle Ep_p = m \, g_0 \, p \left( \frac{p}{2R} - 1\right)\)

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Página publicada por: José Antonio Hervás