PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de física básica, gravitación universal

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Ejercicios de Física General

Dos masas m están situadas sobre el eje X, igual distancia \(x\) del origen y una a cada lado. Hallar:
    a) la expresión de la intensidad del campo gravitatorio creado por las dos masas en un punto cualquiera del eje Y.
    b) la expresión de la energía potencial de una masa m respecto del origen y situada en cualquier punto del eje Y, si x = 3m
Respuesta al ejercicio 68
La intensidad define como la fuerza por unidad de masa:
    \( \displaystyle I = \frac{F}{M} = G·\frac{M·m}{d^2·m} = G·\frac{M}{d^2} \)

Según el esquema

 

tenemos que cualquier punto del eje Y es atraído por los dos cuerpos con la misma fuerza, de ahí tenemos:

    \( I = I_1+I_2 = 2·I_1 = 2·I_2\)

Según la ley de la gravitación universal,

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    I = 2 G \frac{M}{d^2} = 2G \frac{M}{x^2+y^2} \sin \alpha = 2G\frac{M}{x^2+y^2} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}= \\
     \\
    = 2G·M·\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}
    \end{array} \)

Y es es la expresión que nos da la intensidad del campo gravitatorio creado por las dos masas en un punto cualquiera del eje Y.

Para conocer la expresión de la energía potencial de una masa m respecto del origen y situada en cualquier punto del eje Y, empleamos la ecuación obtenida anteriormente, para \(x = 3\: m\):

    \( \displaystyle Ep = m·I·dy = 2G·M·m \int_{b}^{a}\frac{y}{\sqrt{(9+y^2)^3}}dy \)

Haciendo el cambio de variable:

    \( (9+y^2) = t \quad ; \quad dt = 2y·dy \quad ;\quad \sqrt{x^3} = x^{3/2} \)

Tenemos:

    \( \displaystyle Ep = G·Mm \int_{9}^{x}\frac{dt}{t^{3/2}} = G·Mm \left[\frac{t^{-1/2}}{-1/2}\right]_{9}^{t} \)
Y desaciendo el cambio de variable:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    G·Mm\left[- \frac{2}{\sqrt{t}}\right]_{9}^{9+y^2} = G·Mm \left[\frac{2}{\sqrt{9}} - \frac{2}{\sqrt{9+y^2}}\right] = \\
     \\
    Ep = 2G·M·m \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9+y^2}}\right)
    \end{array} \)

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Página publicada por: José Antonio Hervás