PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de física básica, gravitación universal

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Ejercicios de Física General

Calcular la variación de g con la profundidad de la tierra, teniendo en cuenta la figura adjunta.

variación de g con la profundidad

Emplear la misma ecuación de partida que en el ejercicio anterior.

Respuesta al ejercicio 62
para puntos situados en el interior de la Tierra se demuestra matemáticamente que solo influye la masa de esta que queda en la parte central. En un punto situado a profundidad \(x\), tenemos:

    \( \displaystyle M_x = \rho·V_x = \rho·\frac{4}{3}\pi (R-x)^3 \)
y el valor de g:

    \( \displaystyle g_x = G·\frac{M_x}{(R-x)^2} = G\rho·\frac{4}{3}\pi (R-x) \)

Sí la profundidad experimenta una variación \(dx\), la correspondiente variación de g será:

    \( \displaystyle dg_x = G\rho·\frac{4}{3}\pi dx \)

Y dividiendo las dos expresiones anteriores, para eliminar constantes, nos queda:

    \( \displaystyle \frac{dg_x}{g_x} = - \frac{dx}{R-x} \)

Para calcular el valor de g a una profundidad p en función de \(g_o\), integramos la expresión anterior entre los límites 0 y p:

    \( \displaystyle \int_{0}^{p} \frac{dg_x}{g_x} = -\int_{0}^{p} \frac{dx}{R-x} \Rightarrow \ln \left(\frac{g_p}{g_o}\right) = \ln\left(\frac{R-p}{R}\right) \)

De dónde podemos despejar \(g_p\) :

    \( \displaystyle \left(\frac{g_p}{g_o}\right) = \left(\frac{R-p}{R}\right) \Rightarrow g_p = g_o\left(\frac{R-p}{R}\right) \)

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Página publicada por: José Antonio Hervás