PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de física básica, gravitación universal

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Ejercicios de Física General

Calcular la variación de g con la altura, teniendo en cuenta expresión:

    \( \displaystyle \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = G·\frac{M}{r^2}\hat{r}_o \)

Siendo en este caso M la masa de la Tierra y \(r\) la distancia del centro de la misma al punto considerado.

Encontrar una expresión de g para pequeñas alturas.

Respuesta al ejercicio 61
Para un punto situado a la distancia del centro de la tierra la intensidad del campo vendrá dada por:
    \( \displaystyle g = \frac{F}{m} = G·\frac{M}{r^2} \)
Si la distancia al centro aumenta en \(dr\), la variación experimentada por g será :

    \( \displaystyle dg = - G·\frac{M·2dr}{r^3} \)

Sí ahora mismo la segunda expresión por la primera eliminamos G y M y nos queda:

    \( \displaystyle \frac{dg}{g} = - 2\frac{dr}{r}\quad (*) \)

Qué es la expresión que nos da la variación de g con las distancias al centro de la tierra.

variación de g con la altura

Integrando entre los límites 0 y h (figura adjunta) nos queda:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int_{g_o}^{g_h} \frac{dg}{g} = - 2\int_{R}^{R+h} \frac{dr}{r} \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \ln \left(\frac{g_h}{g_o}\right) = 2· \ln \left(\frac{R+h}{R}\right)= \ln \left(\frac{R}{R+h}\right)^2
    \end{array} \)

Y despejando en valor de g a la altura h sobre la superficie terrestre:

    \( \displaystyle g_h = g_o·\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 \)

Para pequeñas alturas, consideramos la ecuación (*) obtenida anteriormente, haciendo:

    \( dg \rightarrow g_h - g_o \quad ; \quad dr \rightarrow h \)

Tenemos:

    \( \displaystyle \frac{g_h - g_o}{g_o} = - 2·\frac{h}{R} \Rightarrow g_h = g_o\left(1 - \frac{2h}{R}\right) \)

 

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Página publicada por: José Antonio Hervás