PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Demostrar que:
    \( E^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E}^{\!\!\!\!\!\!\:º} \subset \overline{E} \)
Respuesta al ejercicio 68

Se tiene:
    \( \forall x \in E \quad y\quad \forall I_x = (x-\varepsilon , x+\varepsilon) \)
por lo tanto, existen puntos de E tales que:
    \( x \in \overline{E}\Rightarrow E \subset \overline{E} \)
Y podemos decir:
    \( \forall x \in E^{\!\!\!\!º} \quad ,\quad \exists \quad I_x = (x-\varepsilon , x+\varepsilon)\subset E \)
Pero como tenemos:
    \( E\subset \overline{E} \Rightarrow I_x \subset \overline{E} \Rightarrow x \in \overline{E}^{\!\!\!\!º} \Rightarrow E^{\!\!\!\!º} \in \overline{E}^{\!\!\!\!º} \)
Por otro lado, tenemos:
    \( \forall x \in \overline{E}^{\!\!\!\!º}\quad \exists \quad I_x = (x-\varepsilon , x+\varepsilon)\subset \overline{E} \)
Y entonces:
    \( \forall I_x\quad \exists \quad x \in \overline{E} \Rightarrow \overline{E}^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E}\)
Por lo que considerando los dos casos, tenemos:
    \( E^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E}^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás