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ANALISIS MATÉMATICO CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS

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CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS

Siendo X un espacio métrico podemos definir en él, los siguientes conceptos:

Definición 1
Si \( x_o \in X \) , el conjunto de puntos \( x \in X \) qué verifican la condición:

    \( d(x,x_o) < \varepsilon \; ,\; \varepsilon >0 \)
Se denomina \( \varepsilon \)-entorno de \( x_o \) o también bola abierta, de centro el punto \( x_o \) y radio \( \varepsilon \).
Dicho \( \varepsilon \)-entorno se puede denotar en distintas formas:
    \( B(x_o, \varepsilon) \; ,\; \xi(x_o , \varepsilon)\; ,\; \xi_\varepsilon (x_o) \; ,\; B_\varepsilon(x_o) \)
Definición 2
Sea E un subconjunto de un espacio métrico X; un punto \( x_o \) es interior de E existe un entorno \( \xi (x_o) \) de centro \( x_o \) tal que \( \xi (x_o)\subset E \).

Definición 3
Un punto \( x_1 \) si dice que es exterior a un conjunto \( E \subset X \) si existe \( \xi(x_1) \) tal que \( \xi(x_1)\cap E = \emptyset \).

Definición 4
Un punto \( \bar{x} \) se dice que es un punto frontera de E si cualquier entorno \( \xi( \bar{x}) \) contiene puntos de E y puntos que no pertenecen a E.El conjunto de los puntos frontera de E se denota por \(\mathfrak{F}(E) \)

Definición 5
un conjunto cuyos puntos son todos interiores, se dice de el que es un conjunto abierto.

Definición 6
sí dice que un punto \( x_o \in X \) es punto de adherencia de E si cualquier entorno \( \xi (x_o) \) contiene al menos un punto de E.

Definición 7
un punto \( x_o \in X \) se llama de acumulación de un conjunto E, si cualquier entorno contiene infinitos puntos de E.

Definición 8
un punto \( x_o \in X \) llama punto aislado. Si existe un entorno \( \xi (x_o) \) que carece de puntos del conjunto E exceptuando el propio \( x_o \) .

Definición 9
El conjunto de todos los puntos de adherencia de E llama clausura de E y se representa por \( \bar{E} \).

Definición 10
El conjunto de todos los puntos de acumulación de E se llama conjunto derivado de E y se representa por E'.
Se verifica en todo conjunto E la relación:

    \( \bar{E} = E \cup E' \)
Definición 11
Un conjunto E se dice que es cerrado cuando coincide con su clausura, es decir, cuando un conjunto E contiene a todos sus puntos acumulación, pues de la relación anterior se tiene:
    \( \bar{E} = E \cup E' \; ;\; E'\subset E \Rightarrow \bar{E} = E \)
Definición 12
Sea \( E \subset F \) un subconjunto de un espacio topológico \( (F , \tau)\). Diremos que \( x\) es un punto interior de \( E\) si existe un abierto \( (U \in \tau)\) que contiene \( x\) y está contenido en \(E : x\in U \subset E\).
Llamaremos interior de \( E \) al conjunto de sus puntos interiores y lo indicaremos por \( E^{\!\!\!º} \) .

Ejercicios de análisis matemático - enunciado 61

Demostrar que sí:
    \( E\subset F \)
Entonces:
    \( \bar{E} \subset \bar{F} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 62

Demostrar que sí:
    \( E\subset F \)
Entonces:
    \( E' \subset F' \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 63

Demostrar que:
    \( (E')' = E" \subset E' \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 64

Demostrar que:
    \( (E\cup F)' = E' \cup F' \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 65

Demostrar que:
    \( (E\cap F)' = E' \cap F' \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 66

Demostrar que \( E' \; y\; \bar{E} \) son cerrados.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 67

Demostar que:
    \( E^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E^{\!\!\!\!º}} \subset \overline{E} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 68

Demostrar que:
    \( E^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E}^{\!\!\!\!\!\!\:º} \subset \overline{E} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 69

Demostrar que si :
    \( A \subset B \)
Entonces
    \( A^{\!\!\!º} \subset B ^{\!\!\!\!º}\)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 70

Sea el conjunto:
    \( E = \{(p,q)\in Q \:, \: [a,b] \:,\: c\} \)
Hallar:
    \(E'\: ,\: E^{\!\!\!º}\: ,\: \overline{E}\: ,\: Ext(E) \)
El conjunto frontera \(\mathfrak{F}(E) \), y los puntos aislados.

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EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Y TOPOLOGÍA



Página publicada por: José Antonio Hervás