PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Demostar que:
    \( E^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E^{\!\!\!\!º}} \subset \overline{E} \)
Respuesta al ejercicio 67

Sea un \(x \in E^{\!\!\!\!º}\) entonces,
    \( \exists \quad I_x = (x-\varepsilon , x+\varepsilon)\subset E \)
Por otro lado,
    \( \forall \quad I_x = (x-\varepsilon , x+\varepsilon) \)
se tiene (por construcción) que:
    \( x \in I_x \Rightarrow x \in \overline{E^{\!\!\!\!º}} \Rightarrow E^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E^{\!\!\!\!º}} \)
Hemos visto que:
    \( I_x \subset E \)
Como el razonamiento es válido para todo \( x \in E^{\!\!\!\!º} \), tenemos:
    \( E^{\!\!\!\!º} \subset E \)
Sea, por otro lado, \( x \in \overline{E^{\!\!\!\!º}} \)
    \( \forall \quad I_x = (x-\varepsilon , x+\varepsilon)\quad \exists \quad y\; /\; y \in E^{\!\!\!\!º} \)
pero como tenemos \( E^{\!\!\!\!º}\subset E \Rightarrow y\in E \) por tanto, \( x \in \overline{E} \), de donde tenemos \( \overline{E^{\!\!\!\!º}} \subset \overline{E} \).
Por todo, finalmente, podemos hacer:
    \( E^{\!\!\!\!º} \subset \overline{E^{\!\!\!\!º}} \subset \overline{E} \)
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Página publicada por: José Antonio Hervás