Demostrar que si (M, *) y (N, *) son dos subgrupos invariantes del grupo (G, *), entonces (MN, *) es un subgrupo invariante de (G, *)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 23

El conjunto M*N será:

\(M \ast N = \{ a \ast b \; / \; a \in M \; , \; b \in N \}\)

Para probar que el conjunto dado tiene estructura de grupo debemos probar que se cumple:

\(x \ast y^{-1} \in M \ast N \; \; \; x, y \in M \ast N \left\{ \begin{array}{l} x = a \ast b \\ \\ y = a\,' \ast b\,' \end{array}\right. \)

Y tenemos:

\(x \ast y^{-1} = (a \ast b) \ast (a\,' \ast b\,' )^{-1} = a \ast (b \ast b\,'^{-1}) \ast a\,'^{-1} = a \ast (b\,") \ast a\,'^{-1}\)

Por otro lado, como M y N son invariantes, se tiene:

\(\forall x \in G \; \; x \ast M = M \ast x \; \; \vee \; \; x \ast N = N \ast x \)

Y de ese modo:

\(a \ast (b\,") \ast a\,'^{-1} = a \ast ( b\," \ast a\,'^{-1}) = a \ast a\,'^{-1} \ast b\," = a\," \ast b\," \in M \ast N \)

Con lo que hemos demostrado que (MN, *) es un subgrupo de (G, *). Para probar que es invariante hacemos:

\(\begin{array}{l} x \ast (M \ast N) = (x \ast M) \ast N = (M \ast x) \ast N = \\  \\ = M \ast (x \ast N) = M \ast (N \ast x) (M \ast N) \ast x \end{array}\)