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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 23

El conjunto M*N será:
    \(M \ast N = \{ a \ast b \; / \; a \in M \; , \; b \in N \}\)
Para probar que el conjunto dado tiene estructura de grupo debemos probar que se cumple:
    \(x \ast y^{-1} \in M \ast N \; \; \; x, y \in M \ast N \left\{ \begin{array}{l} x = a \ast b \\ \\ y = a\,' \ast b\,' \end{array}\right. \)
Y tenemos:
    \(x \ast y^{-1} = (a \ast b) \ast (a\,' \ast b\,' )^{-1} = a \ast (b \ast b\,'^{-1}) \ast a\,'^{-1} = a \ast (b\,") \ast a\,'^{-1}\)
Por otro lado, como M y N son invariantes, se tiene:
    \(\forall x \in G \; \; x \ast M = M \ast x \; \; \vee \; \; x \ast N = N \ast x \)
Y de ese modo:
    \(a \ast (b\,") \ast a\,'^{-1} = a \ast ( b\," \ast a\,'^{-1}) = a \ast a\,'^{-1} \ast b\," = a\," \ast b\," \in M \ast N \)
Con lo que hemos demostrado que (MN, *) es un subgrupo de (G, *). Para probar que es invariante hacemos:
    \(\begin{array}{l} x \ast (M \ast N) = (x \ast M) \ast N = (M \ast x) \ast N = \\  \\ = M \ast (x \ast N) = M \ast (N \ast x) (M \ast N) \ast x \end{array}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás