EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de teoría de grupos

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas y ejercicios resueltos

 
Consideremos el grupo (Q*, •) y la aplicación:
    \(\varphi : Q \ast \rightarrow Q \ast \)

    \( \; \; \; x \rightarrow \varphi (x) = x^2 \)
Demostrar que es homomorfismo y hallar el núcleo. Comprobar que Ker φ es un grupo.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 24

Como (Q*, •) es conmutativo podemos hacer:
    \(\varphi (x y) = (x y)^2 = (x y) (x y) = (x y x y) = \)

    \( (x x y y) = (x x) (y y) = x^2 y^2 = \varphi(x) \varphi (y) \)
El núcleo será:
    \( \textrm{ker } \varphi = \{ x \in Q^\ast \; / \varphi(x) = 1 \} = \{1, -1 \}\)
Para comprobar que es grupo formamos la tabla:
    \(\begin{matrix} & +1 & -1 \\ +1 & +1 & -1 \\ -1 & -1 & +1 \end{matrix} \)
La composición de dos elementos del núcleo pertenece al núcleo. Cada elemento es simétrico de si mismo. El elemento neutro es el +1.

El resto de propiedades son inherentes al grupo (Q*, •) y, por lo tanto, se cumplen trivialmente en \( \textrm{ker } \varphi\).
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás