Consideremos el grupo (Q*, •) y la aplicación:
\(\varphi : Q \ast \rightarrow Q \ast \)
\( \; \; \; x \rightarrow \varphi (x) = x^2 \)
Demostrar que es homomorfismo y hallar el núcleo. Comprobar
que Ker φ es un grupo.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 24
Como (Q*, •) es conmutativo podemos hacer:
\(\varphi (x ˇ y) = (x ˇ y)^2 = (x ˇ y) ˇ (x
ˇ y) = (x ˇ y ˇ x ˇ y) = \)
\( (x ˇ x ˇ y ˇ y) = (x ˇ x) ˇ (y ˇ
y) = x^2 ˇ y^2 = \varphi(x) ˇ \varphi (y) \)
El núcleo será:
\( \textrm{ker } \varphi = \{ x \in Q^\ast \; / \varphi(x) =
1 \} = \{1, -1 \}\)
Para comprobar que es grupo formamos la tabla:
\(\begin{matrix} & +1 & -1 \\ +1 & +1 & -1 \\
-1 & -1 & +1 \end{matrix} \)
La composición de dos elementos del núcleo pertenece
al núcleo. Cada elemento es simétrico de si mismo.
El elemento neutro es el +1.
El resto de propiedades son inherentes al grupo (Q*, •)
y, por lo tanto, se cumplen trivialmente en \( \textrm{ker } \varphi\).
EJERCICIOS
RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS |
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