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DE TEORÍA DE GRUPOS FINITOS

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Enunciado 21

Sea P una permutación que viene dada por la sustitución:
    \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 6 & 7 & 8 & 2 & 10 & 9\end{pmatrix} \)
Poner S como producto de transposiciones y obtener la sustitución inversa de S
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Enunciado 22

Sean dos elementos a y b, pertenecientes a un grupo G, tales que ab = ba. Si a es de orden m y b es de orden n y mcd(m, n) = 1, demostrar que ab es de orden producto mn.
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Enunciado 23

Demostrar que si (M, *) y (N, *) son dos subgrupos invariantes del grupo (G, *), entonces (MN, *) es un subgrupo invariante de (G, *)
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Enunciado 24

Consideremos el grupo (Q*, •) y la aplicación:
    \(\varphi : Q \ast \rightarrow Q \ast \)

    \( \; \; \; x \rightarrow \varphi (x) = x^2 \)
Demostrar que es homomorfismo y hallar el núcleo. Comprobar que Ker φ es un grupo.
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Enunciado 25

Demostrar que la estructura algebraica cuyo conjunto soporte E es el conjunto de las cuatro raíces de la ecuación x4 = 1 y cuya operación binaria interna es la multiplicación ordinaria de números complejos, es un grupo. Hallar los subgrupos.
Demostrar que una transformación T(n) = in es un isomorfismo de (Z, +) en (E, •)
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Enunciado 26

Dado un grupo multiplicativo G, se define una aplicación de G en G mediante:
    \(f(x) = a \, x \, a^{-1} \; \forall a \in G \) fijo
Demostrar que esta aplicación es un automorfismo. Demostrar que el conjunto de todos los automorfismos de esa forma (llamados automorfismos internos) para cada elemento fijo a, perteneciente a G, tiene estructura de grupo respecto del producto de aplicaciones.
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Enunciado 27

Sea f un isomorfismo de (E, *) en (E’, •). Demostrar que si a es un elemento regular para *, entonces f(a) lo es para (•)
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Enunciado 28

Consideremos el conjunto de las permutaciones:
    \(S_o = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \; ; \; S_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \; ; \; S_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

    \(S_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \; ; \; S_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \; ; \; S_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
Ver si forman un grupo para la operación producto de aplicaciones. Hallar los subgrupos.
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Enunciado 29

Dado el grupo (G, *) y la aplicación:
    \(\varphi : G \rightarrow G \)

    \( \; \; \; X \rightarrow \varphi (X) = X^{-1} \)
Demostrar que es condición necesaria y suficiente para que φ sea isomorfismo el que G sea abeliano.
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Enunciado 30

Sean dos elementos a, b que engendran un grupo de orden 6 que cumple, con notación multiplicativa, las siguientes condiciones:
    \(a^3 = b^2 = (ab)^2 = e \; \; ; \; \; ba = a^2 b \)
Hallar el grupo engendrado y formar la tabla. Obtener los subgrupos.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

grupo cuarto ~ : ~ grupo quinto
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tema escrito por: José Antonio Hervás