EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Sean dos elementos a y b, pertenecientes a un grupo G, tales que ab = ba. Si a es de orden m y b es de orden n y mcd(m, n) = 1, demostrar que ab es de orden producto mn.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 22

Podemos escribir
    \( (a \, b)^{m \, n} = a^{m \, n} b^{m \, n} = b^{m \, n} a^{m \, n}\)
Puesto que a y b conmutan.
De lo anterior tenemos:
    \(a^{m \, n} b^{m \, n} = (a^m)^n (b^n)^m = e^n e^m = e \, e = e\)
De ahí podemos decir que el orden de ab (r) divide a mn, esto es r/mn (*)
Por otro lado tenemos:
    \( (a^n)^r = (a^n \, b^n)^r = (a \, b)^{nr} = ((a \, b)^r)^n = e \; \Rightarrow \; m / nr \)

    \( (b^m)^r = (a^m \, b^m)^r = (a \, b)^{mr} = ((a \, b)^r)^m = e \; \Rightarrow \; n / mr \)
Con lo que, finalmente:
    \(m / n \, r \; \vee \; n / m \, r \; \Rightarrow \; [m.c.d.(m, n) = 1] \; mn / r \)
Teniendo en cuenta (*) podemos decir que r = mn, como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás