Demostrar que los subconjuntos

\( U = \{a, b, c \; \; | \; \; a, b, c \in R \; y \; a = b = c \} \)

y

\( W = \{ (0, x, y) \; \; | \; \; x, y \in R \}\)

son subespacios de R³

RESPUESTA DEL EJERCICIO 49

Comprobamos que U es subespacio vectorial de R³. Siendo:

\( \lambda, \mu \in R \; \; ; \; \; (a, b, c), (a', b', c') \in U \)

Se ha de cumplir:

\( \lambda (a, b, c) + \mu (a', b', c) \in U \)

Y tenemos

\( \lambda (a, b, c) + \mu (a', b', c) = ( \lambda a + \mu a' , \lambda b + \mu b' , \lambda c + \mu c' ) \in U \)

Como nos dicen que

\( a = b = c \; ; \; a' = b' = c' \)

entonces

\( \lambda a = \lambda b = \lambda c \; ; \; \mu a' = \mu b' = \mu c' \)

y, en consecuencia:

\( \lambda a + \mu a' = \lambda b + \mu b' = \lambda c + \mu c' \)

Con lo que podemos hacer:

\((\lambda a + \mu a' , \lambda b + \mu b' , \lambda c + \mu c') \in U\)

Y resulta que U es un subespacio vectorial de R³.

Una base de U será (1, 1, 1) pues todo vector de U se puede poner en la forma \( x = \lambda (1, 1, 1) \). En consecuencia, la dimensión de U será 1.

Sean ahora:

\( \lambda, \mu \in R \; \; ; \; \; (0, x, y), (0, x', y') \in W \)

Se ha de cumplir:

\( \lambda (0, x, y) + \mu (0, x', y') \in W \)

Y tenemos

\( \begin{array}{l} \lambda (0, x, y) + \mu (0, x', y') = \\  \\ = ( 0 , \lambda x + \mu x' , \lambda y + \mu y' ) = (0, x", y") \in W \end{array}\)

Puesto que

\( x" = (\lambda x + \mu x') \in R \; \; ; \; \; y" = (\lambda y + \mu y') \in R \)

y, por lo tanto, W es un subespacio vectorial de R³.

Una base de W será \( [(0, 1, 0), (0 , 0, 1)] \) y la dimensión de W es 2.