PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de álgebra lineal

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 

RESPUESTA DEL EJERCICIO 49

Comprobamos que U es subespacio vectorial de R3. Siendo:
    \( \lambda, \mu \in R \; \; ; \; \; (a, b, c), (a', b', c') \in U \)

Se ha de cumplir:
    \( \lambda (a, b, c) + \mu (a', b', c) \in U \)

Y tenemos
    \( \lambda (a, b, c) + \mu (a', b', c) = ( \lambda a + \mu a' , \lambda b + \mu b' , \lambda c + \mu c' ) \in U \)

Como nos dicen que
    \( a = b = c \; ; \; a' = b' = c' \)
entonces
    \( \lambda a = \lambda b = \lambda c \; ; \; \mu a' = \mu b' = \mu c' \)
y, en consecuencia:
    \( \lambda a + \mu a' = \lambda b + \mu b' = \lambda c + \mu c' \)
Con lo que podemos hacer:
    \((\lambda a + \mu a' , \lambda b + \mu b' , \lambda c + \mu c') \in U\)

Y resulta que U es un subespacio vectorial de R3.

Una base de U será (1, 1, 1) pues todo vector de U se puede poner en la forma \( x = \lambda (1, 1, 1) \). En consecuencia, la dimensión de U será 1.

Sean ahora:
    \( \lambda, \mu \in R \; \; ; \; \; (0, x, y), (0, x', y') \in W \)

Se ha de cumplir:
    \( \lambda (0, x, y) + \mu (0, x', y') \in W \)

Y tenemos
    \( \begin{array}{l} \lambda (0, x, y) + \mu (0, x', y') = \\  \\ = ( 0 , \lambda x + \mu x' , \lambda y + \mu y' ) = (0, x", y") \in W \end{array}\)

Puesto que
    \( x" = (\lambda x + \mu x') \in R \; \; ; \; \; y" = (\lambda y + \mu y') \in R \)
y, por lo tanto, W es un subespacio vectorial de R3.

Una base de W será \( [(0, 1, 0), (0 , 0, 1)] \) y la dimensión de W es 2.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás