En Q³ demuéstrese que el subespacio engendrado por los vectores \([(1, 2, 1), (1, 3, 2)] \) es el mismo que el subespacio engendrado por \([(1, 1, 0), (3, 8, 5)] \).

RESPUESTA DEL EJERCICIO 48

Se ha de probar que todo vector x engrendrado por \(E_1 = [(1, 2, 1), (1, 3, 2)] \) pertenece al espacio vectorial engendrado por \(E_2 = [(1, 1, 0), (3, 8, 5)] \) y viceversa.

Resulta sencillo comprobar que ambos espacios tienen la misma dimensión; vamos a comprobar si cada uno de ellos está contenido en el otro.

\([(1, 2, 1), (1, 3, 2)] \) es una base del primer espacio; vamos a ver si estos vectores son combinación lineal de los vectores de la segunda base:

\( \begin{array}{l} x_1 (1, 1, 0) + x_2 (3, 8, 5) = (1, 2, 1)\\  \\ y_1(1, 1, 0) + y_2 (3, 8, 5) = (1, 3, 2) \end{array}\)

Comprobamos para el primero de los vectores:

\(\displaystyle \begin{array}{l} x_1 + 3x_2 = 1\; \; ; \; \; x_1 + 8x_2 = 2 \; \; ; \; \; 5x_2 = 1 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow x_2 = \frac{1}{5} \; \; ; \; \; x_1 = \frac{2}{5} \end{array}\)

E igualmente, para el segundo:

\(\displaystyle\begin{array}{l} y_1 + 3y_2 = 1\; \; ; \; \; y_1 + 8y_2 = 3 \; \; ; \; \; 5y_2 = 2 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow y_2 = \frac{2}{5} \; \; ; \; \; y_1 = - \frac{1}{5} \end{array} \)

Hemos comprobado, por tanto, que los vectores de una base del primer espacio vectorial están engendrados por los vectores de una base del segundo espacio vectorial; de ahí se tiene: \( E_1 \subset E_2 \)

Comprobamos ahora si ocurre igual en el caso contrario:

\( \begin{array}{l} r_1 ((1, 2, 1)) + r_2 (1, 3, 2) = (1, 1, 0) \; \; ; \\  \\ s_1((1, 2, 1)) + s_2 (1, 3, 2) = (3, 8, 5) \end{array}\)

Comprobamos con el primer vector:

\( \begin{array}{l} r_1 + r_2 = 1\; \; ; \; \; 2r_1 + 3r_2 = 1 \; \; ; \\  \\ r_1 + 2r_2 = 0 \Rightarrow r_1 = 2 \; \; ; \; \; r_2 = -1 \end{array}\)

Y, de modo análogo, con el segundo:

\(\begin{array}{l} s_1 + s_2 = 3\; \; ; \; \; 2s_1 + 3s_2 = 8 \; \; ; \\  \\ s_1 + 2s_2 = 5 \Rightarrow s_1 = 1 \; \; ; \; \; s_2 = 2 \end{array} \)

Con lo que hemos comprobado, de igual modo, que los vectores de una base del segundo espacio vectorial están engendrados por los vectores de una base del primer espacio vectorial; en consecuencia, tendremos : \( E_2 \subset E_1 \) y, por todo ello, según la propiedad antisimétrica de la inclusión de conjuntos, ambos espacios vectoriales son iguales.