PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 50

La suma de los espacios vectoriales U y W, denotada U + W, es el espacio vectorial engendrado por los vectores de la forma:
    \( x = x' + x" \) con \(x' \in U \; \; ; \; \; x" \in W \qquad (\ast) \)

La suma de U y W se dice directa y se representa por \( U \oplus W \) si dado un vector x perteneciente a R3 existe una única familia que cumple lo expresado en (*)
Para que ocurra lo anterior, se ha de cumplir x' + x" = 0 siendo unicamente x' = 0 y x" = 0. Es decir, se ha de tener:
    \( x' = x'_1 (1, 1, 1) = 0 \; \; ; \; \; x" = x_1^"(0, 1, 0) + x_2^" (0, 0, 1) = 0 \)

Y para la suma de ambos:
    \( x'_1 (1, 1, 1) + x_1^"(0, 1, 0) + x_2^" (0, 0, 1) = (0, 0, 0) \)
Operando:
    \(\begin{array}{l} (x'_1 , x'_1 + x_1^" , x'_1 + x_2^") = (0, 0, 0) \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow x'_1 = x_1^" = x_2^" = 0 \Rightarrow x' = x" = 0 \end{array}\)
La condición anterior es suficiente pues se tiene:
    Sean \( \left \{ \begin{matrix} x = x'_1 + x_1^"\\ \\ x = x'_2 + x_2^" \end{matrix}\right \} \; \Rightarrow \; (x'_1 + x_1^") - (x'_2 + x_2^") = 0 \Leftrightarrow\)


    \( \Leftrightarrow \; (x'_1 - x'_2) + (x_1^" - x_2^") = 0 \Leftrightarrow \; \left \{ \begin{matrix} x'_1 = x'_2\\ x_1^" = x_2^" \end{matrix}\right. \)
La suma directa de espacios vectoriales también se define diciendo que U+W es suma directa sii se cumple que la intersección de ambos espacios vectoriales es el conjunto nulo.

Condición necesaria.
    \( x \in (U \cap W) \left \{ \begin{matrix} x \in U \Rightarrow x + 0 = x \; ; \; x \in U \; ; \; 0 \in W \\ \\ x \in W \Rightarrow 0 + x = x \; ; \; 0 \in U \; ; \; x \in W \end{matrix}\right \} \)

Y al ser los vectores únicos, resultará x = 0.

Condición suficiente:

Sean
    \( \left \{ \begin{matrix} x = x'_1 + x_1^" \; \; ; \; \; x'_1, x'_2 \in U \\ \\ x = x'_2 + x_2^" \; \; ; \; \; x_1^", x_2^" \in W \end{matrix}\right \} \; \Rightarrow \; \)


    \( \Rightarrow \; (x'_1 + x_1^") - (x'_2 + x_2^") = (x'_1 - x'_2) + (x_1^" - x_2^") = 0 \)

Y de ahí se tiene:
    \( (x'_1 - x'_2) = - (x_1^" - x_2^") \in U \; \; ; \; \; (x_1^" - x_2^") = - (x'_1 - x'_2) \in W \)

Por lo que, finalmente:
    \( (x'_1 - x'_2) , (x_1^" - x_2^") \in (U \cap W) \)

Pero, al ser \( U \cap W = \{ 0 \} \) , ambas componentes serán cero y tendremos: \( x'_1 = x'_2 \; ; \; x_1^" = x_2^" \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás