PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de álgebra lineal

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 47

Primero veremos si los vectores dados son linealmente independientes. Tenemos para el primer caso las siguientes equivalencias:
    \( \begin{array}{lll} w_1 = [1, 4, -1, 3] \; ; \; v_1 = w_1 = [1, 4, -1, 3] \; ; \; u_1 = v_1 = [1, 4, -1, 3] \; \Rightarrow \\ w_2 = [0, 2, 1, -5] \; ; \; v_2 = w_2 = [0, 2, 1, -5] \; ; \; u_2 = v_2 = [0, 2, 1, -5] \; \Rightarrow \\ \displaystyle w_3 = [2, 1, -3, -1] \; ; \; v_3 = w_3 - 2w_1= [0, -7, -1, -7] \; ; \; u_3 = v_3 + \frac{7}{2}v_1 \; \Rightarrow \end{array} \)

O lo que es igual:
    \( \begin{array}{lll} u_1 = v_1 = [1, 4, -1, 3] \\ u_2 = v_2 = [0, 2, 1, -5] \\ \displaystyle u_3 = v_3 + \frac{7}{2}v_1= [0, 0, - \frac{5}{2}, - \frac{49}{2}] \end{array} \)

Hemos obtenido el sistema libre \( [u_1, u_2, u_3] \) que es equivalente al sistema \( [w_1, w_2, w_3] \); por lo tanto, al ser un sistema de generadores constituyen una base de W que, en consecuedncia, tiene dimensión 3.

Para el segundo caso tenemos:
    \( \begin{array}{lll} w_1 = [1, -4, -2, 1] \; ; \; v_1 = w_1 = [1, -4, -2, 1] \; ; \; u_1 = v_1 = [1, -4, -2, 1] \\ w_2 = [1, -3, -1, 2] \; ; \; v_2 = w_2 - w_1 = [0, 1, 1, 1] \; ; \; u_2 = v_2 = [0, 1, 1, 1] \\ w_3 = [3, -8, -2, 7] \; ; \; v_3 = w_3 - 3w_1= [0, 4, 4, 4] \; ; \; u_3 = v_3 - 4v_2 = [0, 0, 0, 0] \end{array} \)
Hemos obtenido así el sistema libre \( [u_1, u_2] \) que es equivalente al sistema \( [w_1, w_2, w_3] \); por lo tanto, una base de W será en este caso \( [ (1, -4, -2, 1) , (1, -3, -1, 2)] \) y se tendrá Din W = 2.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás