A partir de los resultados obtenidos en los dos ejercicios anteriores, determinar la dimensión y obtener una base del espacio vectorial intersección de U y W, esto es \( (U \cap W) \).

RESPUESTA DEL EJERCICIO 46

Según hemos comprobado en un ejercicio anterior, se tiene:

\( Din \; (U+W) + Dim \; (U \cap W) = Dim \; U + Dim \; W \)

\(3 + Dim \; (U \cap W) = 2 + 2 \; \; ; \; \; Dim \; (U \cap W) = 1 \)

Para obtener una base de este espacio vectorial hacemos:

\( x \in U \cap W \left \{ \begin{matrix} x \in U \rightarrow x = x_1(1, 0, 0) + x_2(0, 1, 0) = (x_1, x_2, 0) \\ x \in W \rightarrow x = x'_1(0, 1, 1) + x'_2(2, 0,1) = ( 2x'_2, x'_1, x'_1 + x'_2) \end{matrix} \right. \)

Se debe tener:

\((x_1, x_2, 0) = ( 2x'_2, x'_1, x'_1 + x'_2) \)

De donde podemos hacer:

\( \begin{matrix} x_1 & = & 2x'_2 \\ x_2 & = & x'_1 \\ 0 & = & x'_1 + x'_2 \end{matrix}\; \left | \begin{matrix} x_1 & = & 2x'_2 \\ x_2 & = & x'_1 \\ x_2 & = & - x'_2 \end{matrix}\right | \; \begin{matrix} x_1 & = & - 2x_2 \\ x_1& = & - 2 x'_1 \\ x_1 & = & 2x'_2 \end{matrix}\)

Por lo tanto, para el vector más sencillo se tendrá:

\( \displaystyle x_1 = 1 \; \; ; \; \; x_2 = - \frac{1}{2} \; \; ; \; \; x'_1 = - \frac{1}{2} \; \; ; \; \; x'_2 = \frac{1}{2}\)

Y resulta que el vector:

\( \displaystyle \left( 1, - \frac{1}{2}, 0 \right) \)

Es una base del espacio vectorial intersección de los espacios vectoriales U y W, \( (U \cap W) \)