Sea W el subespacio vectorial engrendrado por \( [(0,1,1), (2,0,1), (2,1,2)] \) obtener un sistema de generadores de W. Considerando el espacio vectorial, U, del ejercicio anterior, construir el espacio vectorial U + W y calcular su dimensión.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 45

Vamos a calcular la dimensión del espacio vectorial engendrado por los vectores \( [(0,1,1), (2,0,1), (2,1,2)] \) . Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:

\( \begin{vmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 + 2 - 4 = 0 \)

Extrayendo un menor de orden 2, tenemos:

\( \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0 \)

Luego el rango de la matriz de los coeficientes vale 2 y, como en ejercicio anterior, la dimensión del espacio vectorial considerado es 2.

Sea ahora un vector \( x \in U+W \); este vector será de la forma:

\(x = u + w\) siendo \(u \in U \; ; \; w \in W \)

Siendo \([(1, 0, 0), (0, 1, 0)] \; ; \; [(0, 1, 1), (2, 0, 1)]\) dos bases respectivas de U y W, podemos hacer:

\(\begin{array}{l} \left. \begin{matrix} x_1(1, 0, 0) + x_2(0, 1, 0) \\ x'_1 (0, 1, 1) + x'_2 (2, 0, 1) \end{matrix}\right \} \; x = \\  \\ = x_1(1, 0, 0) + x_2 (0, 1, 0)+ x'_1(0, 1, 1) + x'_2 (2, 0, 1) \end{array} \)

Por lo tanto, \([(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 0, 1)]\) es un sistema de generadores de U + W. Para obtener una base de dicho espacio vectorial hacemos:

\( \left ( \begin{matrix} 1& 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right ) \)

Tomamos el determinante de una matriz cuadrada extraida de la anterior, porejemplo:

\( \begin{vmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \)

Por lo tanto, Dim U + W = 3, con lo que una base de (U + W) será \( [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)] \)