PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 44

Los vectores de U son, en general, de la forma \( (x_1, x_2, x_3) \) donde \( x_i \in R \), pero teniendo en cuenta que se ha de cumplir la condición \( x_3 = 0 \) serán de la forma:
    \(x \in U \rightarrow x = (x_1. x_2, 0) \)

Si tenemos dos vectores \( (x_1. x_2, 0), (x'_1. x'_2, 0)\) podemos hacer:
    \( \lambda(x_1. x_2, 0) + \mu (x'_1. x'_2, 0) = (\lambda x_1 + \mu x'_1 , \lambda x_2 + \mu x'_2, 0) \; \; (\ast) \)

Y siendo \( \lambda, \mu \in R \) también pertenecerán a R las componentes de \( \ast \); por lo tanto, todo vector de U puede ser generado por \( [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] \) y, en consecuencia, la dimensión de U será 2.

En general, una relación de la forma:
    \(a_1 x_1 + ··· + a_n x_n\)
Es un espacio vectorial por ser núcleo de una aplicación lineal.

Si se tiene una expresión del tipo:
    \( \begin{matrix} a_{11} x_1 + иии + a_{1n} x_n & = 0 \\ a_{21} x_1 + иии + a_{2n} x_n & = 0 \\ иии \; иии \; иии & иии \\ a_{n1} x_1 + иии + a_{nn} x_n & = 0 \end{matrix}\)
Supongamos que el rango de la matriz de los coeficientes vale:
    \( r \left ( \begin{matrix} a_{11} & иии & a_{1n} \\ a_{21} & иии & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & иии & a_{nn} x_n\end{matrix} \right ) = r \)

Siempre se tiene que la dimensión del espacio que definen es igual al número de incógnitas y a su vez es igual a la dimensión del espacio vectorial solución más el rango de la matriz de los coeficientes. En el caso visto, tenemos que el rango de la matriz de los coeficentes es 2 y el espacio solución es Ker (f) que tienen dimensión 0, de ahí, que dimensión E = 2 en este caso.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás