Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K y E' y E" dos subespacios de E de dimensión finita; demostrar que se tiene:

\( Dim (E' + E") + Dim (E' \cap E") = Dim E' + Dim E" \)

Siendo a un número distinto de 0.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 43

Vamos a considerar las siguientes equivalencias:

\(Dim \; E' = n' \; \; ; \; \; Dim \; E" = n" \; \; ; \; \; Dim \; E' \cap E" = i \)

Por lo tanto, se trata de probar que se cumple:

\( Dim (E' + E") = n' + n" - i\)

Para hacerlo, consideramos que se tiene:

\(E' \cap E" \subset E' \; \; ; \; \; E' \cap E" \subset E"\)

Y sea \( \{e_1, ··· , e_i \} \) una base de \( E" \subset E" \), por el teorema de la base incompleta, existen bases de E' y E", respectivamente, de la forma:

\(\begin{array}{l}
\{e_1, ··· , e_i, e'_1, ··· , e'_{n'-i}\} \; \; (\ast) \ \\
 \\
\{e_1, ··· , e_i, e"_1, ··· , e"_{n"-i}\} \; \; (\ast \ast )
\end{array}\)

Consideremos entonces la familia:

\( \{e_1, ··· , e_i, e'_1, ··· , e'_{n'-i}, e_1, ··· , e_i, e"_1, ··· , e"_{n"-i}\} \; \; (\ast \ast \ast )\)

Sea ahora \( x \in E' + E" \), tenemos :

\(x = x' + x" \; \) con \( \; x' \in E' \; ; \; x" \in E" \)

Se tiene que \( x' \) es combinación lineal de \(( \ast ) \) y \( x" \) es combinación lineal de \(( \ast \ast) \) por lo tanto,\( x = x' + x" \) es combinación lineal de \(( \ast \ast \ast ) \) que, por tanto, es un sistema de generadores. Vamos a probar que ese sistema es libre, es decir que si se tiene:

\(\begin{array}{l}
\lambda_1 e_1 + ··· + \lambda_i e_i + \lambda'_1 e'_1 + ··· + \ \\
 \\
+ \lambda'_{n'-i} e'_{n'-i} + \lambda"_1 e"_1 + ··· + \lambda"_{n"-i} e"_{n"-i} = 0
\end{array} \)

Se debe cumplir que todos escalares sean 0.

Se tiene que los vectores de \( (\ast ) \) son linealmente independientes puesto que forman una base de E'. Por otro lado, \( e"_1, ··· , e"_{n"-i} \) son linealmente independientes pues forman parte de una base de E"; además, no pueden expresarse como combinación lineal de la base de E' puesto que no pertenecen a la intersección de E' y E", según se deduce de la construcción de la base de E".

Si se pudieran poner como combinación de los vectores de la base de E', pertenecerían también a \( E' \cap E" \) pues ya pertenecen a E", pero ello iría en contra de la hipótesis supuesta según el teorema de la base incompleta. En consecuencia, los vectores de \(( \ast \ast \ast ) \) son linealmente independientes y por ser un sistema de generadores de \( E' + E" \) constituyen una base de este espacio vectorial; siendo, por tanto, la dimensión de este espacio vectorial

\( (n' - i) + (n" - i) + i = n' + n" - i \)

\( Dim (E' + E") = Dim E' + Dim E" - Dim (E' \cap E") \)