PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 42

La dimensión del espacio vectorial V engendrado por los vectores \( (1, 0, 1), (0, 1, 1) \) la calculamos como sigue:
    \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \; \; ; \; \; r(A) = 2 \)

Por lo tanto, los vectores dados son linealmente independientes y forman una base de V que tiene dimensión 2.

El espacio vectorial \( E \cap V\) estará formado por los vectores que cumplen :
    \( \left. \begin{matrix} \lambda_1(2, 0, 1) + \lambda_2(1, -1, 2) \rightarrow x \in E \\ \lambda'_1(1, 0, 1) + \lambda'_2(0, 1, 1) \rightarrow x \in V \end{matrix}\right \} \; \; ; \; \; x \in E \cap V \)
Y haciendo operaciones tenemos:
    \(x = [(2 \lambda_1 + \lambda_2) , - \lambda_2 , ( \lambda_1 + 2 \lambda_2)] = [\lambda'_1 , \lambda'_2 (\lambda'_1 + \lambda'_2)]\)
Por lo que se debe tener:
    \(2 \lambda_1 + \lambda_2 = \lambda'_1 \; \; ; \; \; - \lambda_2 = \lambda'_2 \; \; ; \; \; \lambda_1 + 2 \lambda_2 = \lambda'_1 + \lambda'_2 \)
Y combinando las dos primeras ecuaciones:
    \( \left. \begin{matrix} 2\lambda_1= \lambda'_1 + \lambda'_2 \\ \lambda_1 + 2\lambda_2 = \lambda'_1 + \lambda'_2 \end{matrix}\right \} \; \; ; \lambda_1 + 2\lambda_2 = 2\lambda_1 \rightarrow 2\lambda_2 = \lambda_1 \)

Al haber más incógnitas que ecuaciones, debemos poner las n - h finales en función de las h primeras:
    \(\begin{array}{l} x = \lambda_1(2, 0, 1) + \lambda_2(1, -1, 2) = \ \\  \\ = 2 \lambda_2(2, 0, 1) + \lambda_2(1, -1, 2) = \lambda_2 (5, -1, 4) \end{array}\)

Por lo tanto, cualquier vector \( x \in E \cap V\) se puede poner \( x = \lambda (5, -1, 4) \); de ahí que \( (5, -1, 4) \) sea una base de \( E \cap V \) y se tenga \( Dim \; E \cap V = 1 \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás