PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de álgebra lineal

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 41

Que el espacio vectorial E esté engendrado por los vectores a, b y c significa que se cumple:
    \( \forall \; x \in E, \; \; \; x = \lambda a + \mu b + \gamma c\)

Se dice entonces que \( [a, b, c] \) forman un sistema de generadores de E,

Vamos a ver si este sistema es libre; podemos escribir:
    \( \lambda_1(2, 0, 1) + \lambda_2 (1, -1, 2) + \lambda_3 (1, 1, -1) = (0, 0, 0)\)
Y haciendo operaciones tenemos:
    \((2 \lambda_1, 0, \lambda_1) + (\lambda_2, - \lambda_2, 2 \lambda_2) + (\lambda_3, \lambda_3, - \lambda_3) = (0, 0, 0)\)
Por lo tanto, se debe tener:
    \(2 \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \; \; ; \; \; - \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \; \; ; \; \; \lambda_1 + 2 \lambda_2 - \lambda_3 = 0\)
La condición necesaria y suficiente para que este sistema tenga soluciones distintas de cero es que el determinante de la matriz de los coeficientes valga cero:
    \( \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 2 + 1 + 1 - 4 = 0\)

Por lo tanto, existen \( \lambda_1, \; \lambda_2, \; \lambda_3\) no todos nulos que verifican la relación anterior. Para saber cuantos vectores tendrá un sistema libre, deberemos determinar el rango de la matriz cuyo determinante no se anule.

Si tomamos, por ejemplo, los vectores a y b, se tiene:
    \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \; \rightarrow \; \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2\)

Por lo tanto, a y b son linealmente independientes y forman una base de E, por ser sistema de generadores. De ahí tenemos que Dim E = 2, por ser este el número de vectores que forman una base

Las coordenadas del vector \(d = (5, 3, -2) \) en dicha base serán:
    \((5, 3, -2) = \lambda_1 a + \lambda_2 b = \lambda_1(2, 0, 1) + \lambda_2 (1, -1, 2) =\)

Y haciendo operaciones, el sistema que podemos formar es:
    \(2 \lambda_1 + \lambda_2 = 5 \; \; ; \; \; - \lambda_2 = 3 \; \; ; \; \; \lambda_1 + 2 \lambda_2 = -2\)

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada serán:
    \(\begin{array}{l} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \; \; ; \; \; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & - 2 \end{pmatrix} \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; \begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & - 2 \end{vmatrix} = 0 \; \; ; \; \; r(A) = 2 \end{array}\)

El rango de la matriz ampliada coincide con el rango de la matriz de los coeficientes, por lo tanto, el sistema tiene solución única que viene dada por la regla de Cramer: cada incógnita se obtiene dividiendo por el determinante del sistema el determinante formado sustituyendo la columna que forman los coeficientes de dicha incógnita por la columna de los términos independientes. El sistema que podemos formar es:
    \( \begin{array}{l} \left. \begin{matrix} 2 \lambda_1 + \lambda_2 = 5 \\ - \lambda_2 = 3 \end{matrix}\right \} \; \; ; \; \; \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \ \\  \\ \displaystyle \lambda_1 = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} }{|A|} = 4 \; \; ; \; \; \lambda_2 = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} }{|A|} = -3 \end{array}\)
Por lo tanto, las coordenadas del vector d en la base (a, b) son (4, -3)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás