PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 30

Para estudiar el sistema de ecuaciones lineales dado, obtenemos en primer lugar la matriz de los coeficientes y calculamos su rango:
    \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = - 11 \neq 0 \Rightarrow h = 2 \)
Obtenemos ahora la matriz ampliada:
    \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 5 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & m-3 \\ 2 & -1 & m+n \end{pmatrix} \)
Tomamos un menor de orden 2 no nulo y orlamos:
    \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = - 11 \; \Rightarrow \; \begin{vmatrix} 1 & 2 & m \\ 5 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & m-3 \end{vmatrix} = 34 - 5m\)
Igualando a cero resulta:
    \(34 - 5m = 0 \; \Rightarrow \; 5m = 34 \; \Rightarrow \; m = 34/5\)
Con lo que tenemos que si el parámetro m es distinto de 34/5, el rango, h’, de la matriz ampliada es 3.
Orlamos ahora con la siguiente fila:
    \( \begin{vmatrix} 1 & 2 & m \\ 5 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & m+n \end{vmatrix} = - 14m - 11n + 5 \)
Si en la última ecuación resultante damos a m el valor 34/5 e igualamos a 0, se tiene:
    \(\displaystyle m = \frac{34}{5} \; \Rightarrow \; n = \frac{351}{55} \; \Rightarrow \; h' = 2\)
Y tenemos un sistema compatible y determinado.

En todos los demás casos en que m o n no tomen el valor dado, se tendrá h’ = 3 y el sistema será incompatible.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás