PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 29

Para ver si es posible resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, debemos obtener la matriz de los coeficientes. Si el rango de la matriz coincide con el número de incógnitas, el sistema sólo admite la solución trivial y decimos que es un sistema incompatible. Si el rango (h) de la matriz de los coeficientes es menor que el número de incógnitas (m), se pueden dar valores a las (m-h) incógnitas consideradas no principales y resolver el sistema en función de ellas.
Cuando h es menor en una unidad que el número de incógnitas, el sistema puede resolverse por el método de los adjuntos:
    \( \displaystyle \frac{x}{A_x} = \frac{y}{A_y} = \frac{z}{A_z} = иии\)
Siendo \( A_x, A_y, A_z , иии \) los adjuntos de x, y, z…

Calculamos, pues, el rango de la matriz de los coeficientes:
    \(\begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 & 5 \\ 5 & 2 & -1 & -4 \\ 7 & -1 & -9 & -2 \\ 2 & -3 & -8 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 11 & 3 & 1 & 6 \\ 4 & 8 & 9 & -7 \\ -7 & 5 & 8 & -13 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 11 & 3 & 6 \\ 4 & 8 & -7 \\ -7 & 5 & -13 \end{vmatrix} = 0 \)
Donde para pasar del primer determinante al segundo hemos desarrollado las siguientes equivalencias:
    1ª columna = 1ª columna + 3 multiplicado por 2ª columna
    2ª columna = 2ª columna – 3ª columna
    4ª columna = 4ª columna + 5 multiplicado por 2ª columna
Y donde hemos sacado factor (-1) de la tercera columna para facilitar los cálculos. Obteniendo un menor de orden de orden 3, se tiene:
    \(\begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 5 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -8 \end{vmatrix} \neq 0 \)
Y, por lo tanto, el rango de la matriz es h = 3. Como h es una unidad menos que el número de incógnitas, podemos obtener la solución por el método de los adjuntos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{x}{\begin{vmatrix} -1 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & -4 \\ -3 & -8 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{-y}{\begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 5 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix}} = \\  \\ = \frac{z}{\begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 5 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{u}{\begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 5 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -8 \end{vmatrix}} \end{array} \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás