PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 28

Para discutir el sistema de ecuaciones lineales planteado, obtenemos la matriz de los coeficientes:
    \(\begin{pmatrix} p & 1 & 1 \\ 1 & p & 1 \\ 1 & 1 & p \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; \begin{vmatrix} p & 1 & 1 \\ 1 & p & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = p^2 - 2p + 1 \)
Igualando a cero la ecuación obtenida resulta:
    \(p^2 - 2p + 1 = 0 \Rightarrow p_1 = p_2 = 1 \)
Tenemos entonces. Si p = 1, el rango, h, de la matriz de los coeficientes, es 1, puesto que si sustituimos p por su valor, resultan todas las columnas iguales.
Consideremos ahora la matriz ampliada:
    \(\begin{array}{l} \begin{vmatrix} p & 1 & 1 & 1 \\ 1 & p & 1 & p \\ 1 & 1 & p & p^2 \\ 1 & 1 & 1 & p-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} p & 1-p^2 & 1-p & 1-p^2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1-p & p-1 & p^2-p \\ 1 & 1-p & 0& -1 \end{vmatrix} = \\  \\ = \begin{vmatrix} 1-p^2 & 1-p & 1-p^2 \\ 1-p & p-1 & p^2-p \\ 1-p & 0 & -1 \end{vmatrix} \end{array}\)
Donde para pasar del primer determinante al segundo hemos desarrollado las siguientes equivalencias:
    2ª columna = 2ª columna – p multiplicado por 1ª columna
    3ª columna = 3ª columna – 1ª columna
    4ª columna = 4ª columna - p multiplicado por 1ª columna
Y para pasar del segundo al tercero hemos desarrollado por la segunda fila
En el último determinante, podemos sacar factor común (1-p) en la primera y segunda columna, con lo que nos queda:
    \(\begin{array}{l}
    - (1-p)^2 \begin{vmatrix} 1+p & 1 & 1-p^2 \\ 1 & -1& p^2-p \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \\
     \\
    = -(1-p)^2 \begin{vmatrix} 1+p & 1 & 1-p^2 \\ 2+p & 0 & 1-p \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = - 3(1-p^2)
    \end{array}\)
Igualando a cero la expresión obtenida:
    \(- 3(1-p)^2 = 0 \; \Rightarrow \; p = 1 \)
Sustituyendo el valor p = 1 en la matriz ampliada se obtiene un menor no nulo de orden 2; por lo tanto, resulta:
    Si \( p = 1\, , \Rightarrow \; h = 1 \; ; \; h’ = 2 \; \) ; Si \( p \neq 1\, , \Rightarrow \; h = 3 ; h’ = 4 \)
Y el sistema es en todos los casos incompatible.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás