Discutir
el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los distintos
valores del parámetro p:
RESPUESTA DEL EJERCICIO 28
Obtenemos la matriz de los coeficientes:
Igualando a cero la ecuación obtenida resulta:
Tenemos entonces. Si p = 1, el rango, h, de la matriz de los
coeficientes, es 1, puesto que si sustituimos p por su valor,
resultan todas las columnas iguales.
Consideremos ahora la matriz ampliada:
Donde para pasar del primer determinante al segundo hemos desarrollado
las siguientes equivalencias:
2ª columna = 2ª columna – p multiplicado por
1ª columna
3ª columna = 3ª columna – 1ª columna
4ª columna = 4ª columna - p multiplicado por 1ª
columna
Y para pasar del segundo al tercero hemos desarrollado por la
segunda fila
En el último determinante, podemos sacar factor común
(1-p) en la primera y segunda columna, con lo que nos queda:
Igualando a cero la expresión obtenida:
Sustituyendo el valor p = 1 en la matriz ampliada se obtiene
un menor no nulo de orden 2; por lo tanto, resulta:
Si p = 1, entonces h = 1 ; h’ = 2
Si p ≠ 1, entonces h = 3 ; h’ = 4
Y el sistema es en todos los casos incompatible.
Ejercicios
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