Discutir
el siguiente sistema de ecuaciones lineales, según los
distintos valores del parámetro q,
RESPUESTA DEL EJERCICIO 27
Podemos formar la matriz de los coeficientes del sistema, cuyo
determinante nos da:
Con lo que tenemos una ecuación de segundo grado de resolución
trivial:
Y en ambos casos resulta que el rango de la matriz de los coeficientes,
h, es 2.
Para la matriz ampliada tenemos:
Si damos a q el valor 0, obtenemos un menor de orden 3 no nulo
tomando las tres columnas de la derecha; por lo tanto, h’,
el rango de la matriz ampliada, es igual a 3.
Si damos a q el valor 1, la cuarta columna es combinación
lineal de la tercera, y la segunda columna es combinación
lineal de la primera; por lo tanto, el mayor menor no nulo es
de orden 2 y, en consecuencia, el rango de la matriz ampliada
es igual a 2. En resumen, tenemos:
Si q vale 0, el rango de la matriz de los coeficientes es 2 y
el rango de la matriz ampliada es 3 por lo que tenemos un sistema
incompatible.
Si q vale 1, el rango de la matriz de los coeficientes es 2 y
el rango de la matriz ampliada también es 2 y tenemos un
sistema compatible e indeterminado, por ser el rango de las matrices
indicadas menor que el número de incógnitas.
Finalmente, si q tiene un valor distinto de los dos valores dados
anteriormente, tenemos que el rango de la matriz de los coeficientes
es 3 y el rango de la matriz ampliada también es 3 y tenemos
un sistema compatible y determinado.
Ejercicios
resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos
de espacios vectoriales |
|
|
|
|