PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 27

Para discutir el sistema de ecuaciones lineales dado, empezamos formando la matriz de los coeficientes del sistema, cuyo determinante nos da:
    \(\begin{vmatrix} q & 1 & 1 \\ 1 & 1 & q \\ 1 & 1 & 2q \end{vmatrix} = q^2 - q \)
Con lo que tenemos una ecuación de segundo grado de resolución trivial:
    \(q^2 - q = 0 \Rightarrow q(q-1) = 0 \Rightarrow q_1 = 0 \; ; \; q_2 = 1 \)
Y en ambos casos resulta que el rango de la matriz de los coeficientes, h, es 2.
Para la matriz ampliada tenemos:
    \(\begin{pmatrix} q & 1 & 1 & q^2 \\ 1 & 1 & q & q \\ 1 & 1 & 2q & 2 \end{pmatrix} \)
Si damos a q el valor 0, obtenemos un menor de orden 3 no nulo tomando las tres columnas de la derecha; por lo tanto, h’, el rango de la matriz ampliada, es igual a 3.

Si damos a q el valor 1, la cuarta columna es combinación lineal de la tercera, y la segunda columna es combinación lineal de la primera; por lo tanto, el mayor menor no nulo es de orden 2 y, en consecuencia, el rango de la matriz ampliada es igual a 2. En resumen, tenemos:

Si q vale 0, el rango de la matriz de los coeficientes es 2 y el rango de la matriz ampliada es 3 por lo que tenemos un sistema incompatible.

Si q vale 1, el rango de la matriz de los coeficientes es 2 y el rango de la matriz ampliada también es 2 y tenemos un sistema compatible e indeterminado, por ser el rango de las matrices indicadas menor que el número de incógnitas.

Finalmente, si q tiene un valor distinto de los dos valores dados anteriormente, tenemos que el rango de la matriz de los coeficientes es 3 y el rango de la matriz ampliada también es 3 y tenemos un sistema compatible y determinado.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás