PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
    \(\begin{array}{l} 2x + 4y + 5z = 1 \\x + 3y + 3z = -1 \\ 4x + 5y + 4z = 2 \\ 3x + 3y + 2z = 2 \\ 2x + 5y - z = -7 \end{array} \)
Diciendo si es compatible o incompatible

RESPUESTA DEL EJERCICIO 26

En primer lugar, calculamos el rango de la matriz de los coeficientes del sistema, que sabemos que es el valor para el cual no es nulo el determinante de alguno de los menores extraídos de dicha matriz. Tenemos:
    \(\begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 3 \\ 4 & 5 & 4 \\ 3 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & -1 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \; \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 3 \\ 4 & 5 & 4 \end{vmatrix} = -9 \Rightarrow r(c) = 3 = h \)
Calculamos, así mismo, el rango de la matriz ampliada:
    \(\begin{array}{l}
    \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & -1 \\ 4 & 5 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & -1 & -7 \end{pmatrix} \; \Rightarrow \\
     \\
    \; \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & -1 \\ 4 & 5 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & -1 & -7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 7 & 8 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 16 & 33 & 34 & 0 \end{vmatrix} \neq 0 \Rightarrow h' = 4
    \end{array} \)
Se tiene, por tanto, un sistema incompatible, puesto que el rango de la matriz de los coeficientes es menor que el rango de la matriz ampliada.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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tema escrito por: José Antonio Hervás