Un homomorfismo entre dos espacios vectoriales viene dado por la expresión:



Determínense el espacio imagen y el núcleo de la aplicación.

RESPUESTA 25

Para calcular la dimensión de la imagen, debemos determinar el rango de la matriz de transformación:



Una base del espacio vectorial imagen viene determinada por los vectores columna de la matriz de transformación. Como hemos visto que el espacio es de dimensión 2, necesitaremos dos vectores (por ejemplo: (1, -1, 1) , (-1, 2, 0)).
La ecuación cartesiana que describe al espacio Im f se calculará entonces en la forma:



Obtenemos así el sistema:



Y la última ecuación obtenida será, por tanto, la ecuación cartesiana que describe el espacio Im f.
Vamos a calcular ahora la dimensión de Ker (f). Tenemos:

Dim Ker (f) + Dim Im (f) = Dim E ; Dim Ker (f) + 2 = 3 ; Dim Ker (f) = 1

En el caso de que la dimensión de Ker (f) hubiera sido 0, el núcleo habría estado formado por el vector nulo. Al tener dimensión 1, son necesarias dos ecuaciones cartesianas para describirlo. Las dos ecuaciones las obtenemos como sigue: