PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 25

Para calcular la dimensión del espacio imagen, debemos determinar el rango de la matriz de transformación:
    \( \begin{array}{l} \begin{vmatrix} 1 & -1& 2 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \; \Rightarrow \; \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; r = 2 \; \Rightarrow \; Dim \; (Im \, f) = 2 \end{array}\)
Una base del espacio vectorial imagen viene determinada por los vectores columna de la matriz de transformación. Como hemos visto que el espacio es de dimensión 2, necesitaremos dos vectores (por ejemplo: (1, -1, 1) , (-1, 2, 0)).

La ecuación cartesiana que describe al espacio Im f se calculará entonces en la forma:
    \(x = (x-1, x_2, x_3) = \alpha (1, -1, 1) + \beta (-1, 2, 0)\)
Obtenemos así el sistema:
    \( \left. \begin{array}{l} x_1 = \alpha - \beta \\ \\ x_2 = \beta - \alpha \\ \\ x_3 = \alpha \end{array} \right\} \; x_1 + x_2 = 0 \)
Y la última ecuación obtenida será, por tanto, la ecuación cartesiana que describe el espacio Im f.
Vamos a calcular ahora la dimensión de Ker (f). Tenemos:
    \( \begin{array}{l} Dim \, Ker (f) + Dim \; Im (f) = Dim \; E ; \\  \\ Dim \; Ker (f) + 2 = 3 ; Dim \; Ker (f) = 1 \end{array}\)
En el caso de que la dimensión de Ker (f) hubiera sido 0, el núcleo habría estado formado por el vector nulo. Al tener dimensión 1, son necesarias dos ecuaciones cartesianas para describirlo. Las dos ecuaciones las obtenemos como sigue:
    \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_1 - x_2 + 2 x_3 = 0 \\ \\ - x_1 - 2 x_2 + 3 x_3 = 0 \end{array} \right. \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás