PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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Encontrar un subespacio complementario de la variedad lineal [a, b, c], siendo:
    a = (1, 0, 1) ; b = (0, 0, 1) ; c = (1, 0, 0)
RESPUESTA DEL EJERCICIO 24

Para encontrar el subespacio complementario solicitado, determinamos en primer lugar el rango de la matriz de los vectores:
    \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \; \Rightarrow \; \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \)
Siendo el resultado trivial, por tenerse en el determinante original una columna completa de ceros.

Al tener un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz es 2 y la dimensión del espacio generado por la variedad lineal dada es 2. Podemos tomar como vectores libres de dicho espacio b y c, con lo cual, sabiendo que dos espacios complementarios han de cumplir:
    \(E_1 \cap E_2 = 0 \; \; ; \; \; E_1 + E_2 = E \)
Podemos añadirle a los vectores b y c un vector tal que el determinante de la matriz resultante no sea nulo; de ese modo se formaría una base de E. cómo todos los vectores implicados serían linealmente independientes, el vector añadido sería una base del espacio complementario al formado por la variedad lineal considerada. Tenemos:
    \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \; \Rightarrow \; \) Subespacio suplementario \( (1, 1, 0) \)
Todo vector x de dicho subespacio vendrá dado por la ecuación \( x = \alpha(1, 1, 0) \) . como dicho subespacio tiene dimensión 1, serán necesarias dos ecuaciones cartesianas para definirlo:
    \(x = (x_1, x_2, x_3) = \alpha (1, 1, 0) \; \Rightarrow \; x_1 = \alpha \; ; \; x_2 = \alpha \, ; \; x_3 = 0 \)
Y las ecuaciones cartesianas que definirán dicho subespacio serían:
    \(x_3 = 0 \; \; ; \; \; x_1 - x_2 = 0 \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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tema escrito por: José Antonio Hervás