PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 20

Para que la correspondencia sea aplicación lineal se ha de cumplir:
    \(\begin{array}{l}
    \forall v_1, v_2 \in R^3 \; \; h(v_1+ v_2) = \\
     \\
    = h(v_1) + h(v_2) \; ; \; \forall \; \alpha \in K \; \; h(\alpha \, v) = \alpha \, h(v)
    \end{array}\)
Y para la primera propiedad tenemos,
    \(h(v_1+ v_2) = h \left[(x_1, y_1, z_1, r_1, s_1) + (x_2, y_2, z_2, r_2, s_2) \right] =\)
    \( h(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2, r_1+r_2, s_1+s_2) = \)

    \( (x_1+x_2 + y_1+y_2 + z_1+z_2 + r_1+ r_2 + s_1+ s_2) = \)

    \( (x_1+ y_1+ z_1+ r_1+ s_1) + (x_2+ y_2+ z_2+ r_2+ s_2) = \)
    \( h(v_1) + h(v_2) = \left[(x_1+y_1 , x_1+ z_1, x_1+ y_1) + (x_2+y_2 , x_2 + z_2, x_2 + y_2)\right] = \)
    \( h(x_1, y_1, z_1) +h(x_2, y_2, z_2) = h(v_1) + h(v_2) \)
Y para la segunda:
    \( \begin{array}{l} h(\alpha \, v) = h \left[ \alpha (x_1, x_2, x_3, x_4 , x_5) \right] = h(\alpha \, x_1, \alpha \, x_2, \alpha \,x_3, \alpha \, x_4, \alpha \, x_5) = \\  \\ (\alpha \, x_1 + \alpha \, x_2 + \alpha \,x_3 + \alpha \, x_4 + , \alpha \, x_5) = \alpha (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = \alpha \, h(x) \end{array}\)
Se trata, entonces de que la aplicación si es lineal. El núcleo de la aplicación estará formado por los vectores que cumplan:
    \(h (x, y, z, t, v) = 0 \; \Rightarrow \; x+y+z+t+v = 0 \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás