PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 19

Para que la correspondencia sea aplicación lineal se ha de cumplir:
    \(\begin{array}{l} \forall v_1, v_2 \in R^3 \; \; h(v_1+ v_2) = \\  \\ = h(v_1) + h(v_2) \; ; \; \forall \; \alpha \in K \; \; h(\alpha \, v) = \alpha \, h(v) \end{array} \)
Y tenemos, para la primera propiedad:
    \( \begin{array}{l} h(v_1+ v_2) = h \left[(x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) \right] = \\  \\ = h(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2) \\  \\ (x_1+x_2 + y_1+y_2, x_1+x_2 + z_1+z_2 , x_1+x_2 + y_1+y_2) = \\  \\ \left[(x_1+y_1 , x_1+ z_1, x_1+ y_1) + (x_2+y_2 , x_2 + z_2, x_2 + y_2)\right] = \\  \\ = h(x_1, y_1, z_1) +h(x_2, y_2, z_2) = h(v_1) + h(v_2) \end{array} \)>
Y para la segunda:
    \( \begin{array}{l} h(\alpha \, v) = h \left[ \alpha (x_1, x_2, x_3)\right] = h( \alpha \, x_1, \alpha \; x_2 , \alpha \, x_3) = \\  \\ (\alpha \, x_1 + \alpha \, x_2 , \alpha \, x_1 + \alpha \, x_3 , \alpha \, x_1 + \alpha \, x_2) = \\  \\ = \left[\alpha ( x_1 + x_2) , \alpha ( x_1 + x_3) , \alpha ( x_1 + x_2) \right] \\  \\ \alpha \left[ ( x_1 + x_2) , ( x_1 + x_3) , ( x_1 + x_2) \right] = \alpha \, h(x_1, x_2, x_3) = \alpha \, h(x) \end{array}\)
Tenemos, por tanto, que la aplicación si es lineal. Los vectores que pertenezcan al núcleo de h han de cumplir:
    \(h(x, y, z) = 0 \Rightarrow (x+y, x+z, x+y) = (0, 0, 0) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y = 0 \\ \\ x+ z= 0 \end{array}\right. \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás