PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de álgebra lineal

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 18

Para que la correspondencia dada sea aplicación lineal se ha de cumplir:
    \(\left. \begin{array}{l} \forall \; \alpha, \beta \in R \\ \\ \forall v_1, v_2 \in R^2 \end{array} \right\} \; \; f(\alpha\, v_1 + \beta \, v_2) = \alpha\, f(v_1) + \beta \, f(v_2)\)
Según el enunciado podemos hacer:
    \( f(\alpha\, v_1 + \beta \, v_2) = f[\alpha(x_1, y_1) + \beta (x_2, y_2 ) = \)

    \( = f \left[(\alpha \; x_1 + \beta \; x_2) , (\alpha \; y_1 + \beta \; y_2) \right] = \)

    \( = \left[(\alpha \; x_1 + \beta \; x_2) , (\alpha \; y_1 + \beta \; y_2), 0 \right]\)
Y por otro lado tenemos:
    \( \alpha\, f(v_1) + \beta \, f(v_2) = \alpha\, f(x_1, y_1) + \beta \, f(x_2 , y_2) = \)

    \( = \alpha\, (x_1, y_1, 0) + \beta \, (x_2, y_2, 0) = \)

    \( (\alpha\, x_1, \alpha \, y_1 , 0) + (\beta x_2, \beta\, y_2, 0) = \)

    \( = \left[(\alpha \; x_1 + \beta \; x_2) , (\alpha \; y_1 + \beta \; y_2), 0 \right]\)
Como las dos expresiones obtenidas son iguales, podemos decir que la aplicación dada es una aplicación lineal u homomorfismo.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás