PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 16

Hacemos la observación de que el subespacio no puede tener dimensión superior a 3, por ser de este orden la mayor matriz cuadrada que puede obtenerse con los datos. Siendo así, tomamos un menor:
    \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -3 \)
Como su determinante es distinto de cero, lo vamos orlando:
    \(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 0 \; ; \; \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \; ; \; \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & -3 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 \)
Vemos que todos los determinantes son nulos, lo cual era fácil de deducir observando que v3 es combinación lineal de v1 y v2.

Según lo visto, el rango de la matriz de los coeficientes es 2 y, en consecuencia, la dimensión del subespacio considerado es 2.

Para obtener las ecuaciones cartesianas, debemos tener en cuenta que el número de ellas a deducir es n – r = 5 – 2 = 3, siendo n la dimensión del espacio origen y r la dimensión del subespacio considerado.
Sea el vector genérico:
    \( \begin{array}{l} (x_1 \; \; x_2 \; \; x_3 \; \; x_4 \; \; x_5) = \\  \\ = \alpha (2 \; \; 3 \; \; 1 \; \; 0 \; \; 3) + \beta (1 \; \; 0 \; \; 1 \; \; 1 \; \; -3) + \gamma (3 \; \; 3 \; \; 2 \; \; 1 \; \; 0) \end{array} \)
Haciendo operaciones obtenemos en primer lugar las ecuaciones paramétricas:
    \(x_1 = 2 \alpha + \beta + 3 \gamma \; ; \; x_2 = 3 \alpha + 3 \gamma \; ; \; x_3 = \alpha + \beta + 2 \gamma\)

    \( x_4 = \beta + \gamma \; ; \; x_5 = 3 \alpha - 3 \beta \)
Eliminando los parámetros obtenemos las ecuaciones cartesianas solicitadas:
    \( 3x_3 + x_2 - 3x_1 = 0 \; ; \; 3x_4 + 2x_2 - 3x_1 = 0 \; ; \; x_5 - 3x_2 + 3x_1 = 0\)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás