PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 15

Comprobamos que R² es suma directa de los subespacios considerados. Se ha de cumplir:
    \([(2, 1)] \cap [(2, -1)] = \{0 \} \)
Y para ver que es así, tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    \left. \begin{array}{l} x \in [(2, 1)] \; \Rightarrow \; x = \alpha\,'(2, 1) \\ \\ x \in [(2, -1)] \; \Rightarrow \; x = \alpha\,(2, -1) \end{array} \right \} \; \; \alpha\,' (2, 1) = \\
     \\
    = \alpha \, (2, -1) \; \; \left \{ \begin{array}{l} 2 \alpha\,' = 2 \alpha\\ \\ \alpha\,' = - \alpha \end{array} \right \} \; \alpha\,' = \alpha = 0
    \end{array} \)
En estas condiciones podemos considerar el endomorfismo:
    \( \pi_1 (x) = u \; \; ; \) con \( u \in [(2, 1)] = F \)
Que recibe el nombre de proyección de R² sobre F paralelamente a G.

Para calcular la matriz que define a \( \pi_1 \) consideramos los vectores de la base canónica de R² y escribimos:
    \((1, 0) = \displaystyle \alpha (2, 1) + \beta (2, -1) = \frac{1}{4} (2, 1) + \frac{1}{4} (2,- 1) \)

    \((0, 1) = \displaystyle \alpha (2, 1) + \beta (2, -1) = \frac{1}{2} (2, 1) - \frac{1}{2} (2,- 1) \)
Con lo que resultará:
    \( \displaystyle \pi_1 (1, 0) = \pi_1 \left[\frac{1}{4} (2, 1) + \frac{1}{4} (2,- 1) \right] = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) \)

    \( \displaystyle \pi_1 (0, 1) = \pi_1 \left[ \frac{1}{2} (2, 1) - \frac{1}{2} (2,- 1) \right] = \left( 1, \frac{1}{2} \right) \)
Y la matriz del endomorfismo será:
    \(M( \pi_1 \, , R^2) = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}\)
Análogamente podemos considerar la proyección de R² sobre G paralelamente a F:
    \( \pi_2 (x) = v \; \; ; \) con \( v \in [(2, -1)] = G \)
Y según lo visto tendremos:
    \( \displaystyle \pi_2 (1, 0) = \pi_2 \left[\frac{1}{4} (2, 1) + \frac{1}{4} (2,- 1) \right] = \left( \frac{1}{2}, - \frac{1}{4} \right) \)

    \( \displaystyle \pi_2 (0, 1) = \pi_2 \left[ \frac{1}{2} (2, 1) - \frac{1}{2} (2,- 1) \right] = \left( -1, \frac{1}{2} \right) \)
Y la matriz de π2 será:
    \(M( \pi_1 \, , R^2) = \begin{pmatrix} 1/2 & -1 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix}\)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás